Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTemel Bileşen Yükleri ve Yorumlanması

Bir çevre araştırmacısı, 4 farklı su kalitesi göstergesini (X1,X2,X3,X4X_1, X_2, X_3, X_4) standartlaştırarak korelasyon matrisi üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Yapılan analiz sonucunda elde edilen birinci temel bileşen (Y1Y_1) ile orijinal değişkenler arasındaki doğrusal ilişkiyi gösteren temel bileşen yükleri (korelasyonlar) sırasıyla; 0,800,80, −0,60-0,60, 0,700,70 ve 0,500,50 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, elde edilen temel bileşen yükleri ve analizin sonuçları ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. Birinci temel bileşene ait özdeğer 1,74 olarak hesaplanır ve bu bileşen, standartlaştırılmış değişkenlerin oluşturduğu toplam varyansın %43,5'ini tek başına açıklamaktadır.Cevap
  2. B
    Birinci temel bileşenin özdeğeri hesaplandığında bulunan 1,74 değeri, doğrudan bu bileşenin veri setinde açıkladığı varyans oranının %1,74 olduğunu gösterir.
  3. C
    Temel bileşen yükleri, özvektör elemanlarının korelasyon matrisinin determinantı ile çarpılmasıyla bulunur ve bu bileşen için hesaplanan matris determinantı 1,74'tür.
  4. D
    Elde edilen bu yük değerleri, su kalitesi göstergelerinin gerisinde yatan doğrudan ölçülemeyen gizil (latent) bir ortak faktörü ve bu faktöre ait ölçüm hatalarını yansıtmaktadır.
  5. E
    X2X_2 değişkenine ait yükün negatif (−0,60-0,60) çıkması, bu değişkenin bileşenin oluşumuna varyans katkısı sağlamadığını ve analize dâhil edilmeden önce uygun ölçeklendirilmediğini gösterir.

Cevap

Birinci temel bileşene ait özdeğerin 1,74 olduğu ve toplam varyansın %43,5'ini açıkladığı ifade doğrudur.
Temel Bileşenler Analizinde (TBA) korelasyon matrisi kullanıldığında, herhangi bir temel bileşenin özdeğeri o bileşenin tüm değişkenlerle olan korelasyonlarının (temel bileşen yükleri) karelerinin toplamına eşittir. Verilen değerlerin kareleri toplandığında 0,64+0,36+0,49+0,25=1,740,64 + 0,36 + 0,49 + 0,25 = 1,74 özdeğerine ulaşılır. Toplam varyans, analiz edilen değişken sayısına (4) eşit olduğu için birinci temel bileşenin açıkladığı varyans oranı 1,74/4=0,4351,74 / 4 = 0,435 yani %43,5 olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci temel bileşene ait özdeğeri (eigenvalue, λ1\lambda_1) hesaplamak.
λ1=(0,80)2+(−0,60)2+(0,70)2+(0,50)2=0,64+0,36+0,49+0,25=1,74\lambda_1 = (0,80)^2 + (-0,60)^2 + (0,70)^2 + (0,50)^2 = 0,64 + 0,36 + 0,49 + 0,25 = 1,74
Korelasyon matrisi kullanılarak yapılan Temel Bileşenler Analizinde bir bileşenin özdeğeri, o bileşenin orijinal değişkenlerle olan korelasyonlarının (yüklerinin) kareleri toplamına eşittir.
2
Veri setindeki toplam varyansı belirlemek.
Toplam Varyans =4= 4 (Değişken sayısı, p=4p = 4)
Analiz korelasyon matrisi üzerinden yapıldığı için her bir XiX_i değişkeninin varyansı 1 olarak kabul edilir. Bu nedenle toplam varyans, analizdeki değişken sayısına eşittir.
3
Birinci temel bileşenin açıkladığı varyans oranını hesaplamak.
Açıklanan Varyans Oranı =λ1Toplam Varyans=1,744=0,435= \frac{\lambda_1}{\text{Toplam Varyans}} = \frac{1,74}{4} = 0,435 (yani %43,5\%43,5)
Bir bileşenin açıkladığı varyans oranı, kendi özdeğerinin toplam varyansa bölünmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Temel Bileşen Yüklerinin Yorumlanması ve Varyans Açıklama Oranı
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Bileşen Yükleri ve Yorumlanması

Bu konudan daha fazla soru