Examkin

Soru

Zorluk: ZorTemel Bileşen Yükleri ve Yorumlanması

Üç adet standartlaştırılmış değişken (Z1,Z2,Z3Z_1, Z_2, Z_3) için korelasyon matrisi (R\mathbf{R}) üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) gerçekleştirilmiştir. Analiz sonucunda matrisin en büyük özdeğeri λ1=1.44\lambda_1 = 1.44 ve bu özdeğere karşılık gelen normalize edilmiş özvektör (eigenvector) e1=[0.6−0.80]\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 0.6 \\ -0.8 \\ 0 \end{bmatrix} olarak elde edilmiştir.

Temel bileşen yüklerinin (loadings) hesaplanması ve yorumlanması ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. Birinci temel bileşen, veri setindeki toplam varyansın %48'ini açıklar ve ikinci değişkenin bu bileşen üzerindeki yükü −0.96-0.96'dır; bu yükün negatif olması ilişkinin yönünü belirtir, değişkenin bileşene olan katkısının düşük olduğunu göstermez.Cevap
  2. B
    Temel bileşen yükleri doğrudan özvektör elemanlarına eşit olduğundan birinci değişkenin yükü 0.60.6'dır; Faktör Analizinden farklı olarak TBA'da bu yükler, değişkenlerin temel bileşenlerle olan korelasyonunu değil gizil (latent) yapıyı yansıtır.
  3. C
    İkinci değişkene ait özvektör elemanı negatif (−0.8-0.8) olduğu için, bu durum değişkenin birinci temel bileşenin özdeğerini (açıklanan varyansını) küçültücü yönde etki ettiğini ve toplam varyansa katkısının negatif olduğunu gösterir.
  4. D
    Birinci temel bileşenin açıkladığı varyans oranı, en büyük özdeğerin korelasyon matrisinin determinantına bölünmesiyle bulunur; bu yüzden varyans oranı λ1/∣R∣\lambda_1 / |\mathbf{R}| formülüyle hesaplanır ve bileşen yükleri özvektörden bağımsızdır.
  5. E
    Temel bileşen analizinde değişkenlerin ölçek farklılıklarını gidermek için korelasyon matrisi yerine her zaman kovaryans matrisi kullanılmalıdır; bu yapılmadığı için korelasyon matrisinden hesaplanan −0.96-0.96 temel bileşen yükü yapay bir değerdir.

Cevap

Birinci temel bileşen veri setindeki toplam varyansın %48'ini açıklar ve ikinci değişkenin yükü −0.96-0.96'dır.
Temel Bileşenler Analizinde (TBA) korelasyon matrisi kullanıldığında toplam varyans değişken sayısına eşittir (burada 3'tür). Birinci bileşenin açıkladığı varyans oranı 1.44/3=0.481.44 / 3 = 0.48 (%48) olarak hesaplanır. Temel bileşen yükleri, özvektör elemanı ile ilgili özdeğerin karekökünün çarpımına eşittir (lij=eijλjl_{ij} = e_{ij}\sqrt{\lambda_j}). İkinci değişken için bu değer −0.8×1.44=−0.8×1.2=−0.96-0.8 \times \sqrt{1.44} = -0.8 \times 1.2 = -0.96 olur. Yükün negatif çıkması, değişken ile bileşen arasında negatif (ters) yönlü bir ilişki olduğunu gösterir; ancak değişkene ait katkının düşük veya eksi olduğu anlamına gelmez, karesi oranında katkı sunar.

Adım Adım Çözüm

1
Korelasyon matrisindeki toplam varyansı belirleme ve açıklanan varyans oranını hesaplama.
Toplam Varyans = 33. Açıklanan Oran = 1.443=0.48\frac{1.44}{3} = 0.48 (yani %48).
Korelasyon matrisinin esas köşegeni üzerindeki elemanlar 1'dir. Üç değişken olduğu için matrisin izi (trace) 3'tür ve bu değer toplam varyansa eşittir.
2
İkinci değişkenin birinci temel bileşen üzerindeki yükünü (loading) hesaplama.
l21=e21×λ1=−0.8×1.44=−0.8×1.2=−0.96l_{21} = e_{21} \times \sqrt{\lambda_1} = -0.8 \times \sqrt{1.44} = -0.8 \times 1.2 = -0.96.
Temel bileşen yükleri, normalize edilmiş özvektör elemanlarının, karşılık gelen özdeğerin karekökü ile çarpılmasıyla matematiksel olarak elde edilir.
3
Bulunan negatif bileşen yükünü istatistiksel olarak yorumlama.
Negatiflik, değişkenin temel bileşen ile ters yönlü bir ilişkiye (korelasyona) sahip olduğunu gösterir; varyansa katkıyı azaltmaz.
Bileşen yükleri korelasyon katsayısı olarak yorumlanır. Bir değişkenin varyansa katkısı, bileşen yükünün karesidir (l212=(−0.96)2=0.9216l_{21}^2 = (-0.96)^2 = 0.9216) ve daima pozitiftir.

Anahtar Kavram

Temel Bileşen Yükleri (Principal Component Loadings)
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Bileşen Yükleri ve Yorumlanması

Bu konudan daha fazla soru