Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTemel Bileşen Yükleri ve Yorumlanması

Bir araştırmacı, 5 adet değişkenden (X1,X2,X3,X4,X5X_1, X_2, X_3, X_4, X_5) oluşan bir veri seti üzerinde, değişkenleri standartlaştırarak korelasyon matrisi üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. İlk temel bileşene (Y1Y_1) ait özdeğer λ1=2,16\lambda_1 = 2,16 olarak bulunmuştur.

İlk dört değişkenin birinci temel bileşen ile olan korelasyonları (temel bileşen yükleri) sırasıyla l11=0,80l_{11} = 0,80; l21=−0,60l_{21} = -0,60; l31=0,60l_{31} = 0,60 ve l41=0,40l_{41} = 0,40 olarak hesaplanmıştır. Ayrıca, beşinci değişkene ait birinci özvektör elemanının pozitif işaretli olduğu (e51>0e_{51} > 0) bilinmektedir.

Bu analiz sonuçlarıyla ilgili olarak aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Beşinci değişkenin birinci temel bileşen yükü 0,800,80'dir ve bu bileşen, veri setindeki toplam varyansın %43,2\%43,2'sini açıklamaktadır.Cevap
  2. B
    Beşinci değişkenin birinci temel bileşen yükü 0,800,80'dir ve birinci temel bileşen, korelasyon matrisi üzerinden elde edilen toplam varyansın doğrudan %21,6\%21,6'sını açıklamaktadır.
  3. C
    Beşinci değişkenin birinci temel bileşen yükü 0,640,64'tür ve analiz korelasyon matrisi üzerinden yapıldığından bu matrisin izi (trace) 2,162,16'dır.
  4. D
    Beşinci değişkenin birinci temel bileşen yükü 0,640,64'tür ve bu değer, faktör analizinde olduğu gibi beşinci değişkene ait spesifik (hata) varyansı temsil etmektedir.
  5. E
    Beşinci değişkenin birinci temel bileşen yükü −0,80-0,80'dir ve analiz standartlaştırılmamış verilerle (kovaryans matrisiyle) yapılsaydı açıklanan varyans oranı yine %43,2\%43,2 olurdu.

Cevap

Beşinci değişkenin birinci temel bileşen yükünün 0,800,80 olduğu ve bu bileşenin toplam varyansın %43,2\%43,2'sini açıkladığı ifade doğrudur.
Doğru yanıt, hem yük hem de açıklanan varyans hesabını eksiksiz uygular. Korelasyon matrisinde birinci bileşen yüklerinin kareleri toplamı birinci özdeğere (2,162,16) eşittir. Dört değişkenin yük kareleri toplamı 1,521,52 olduğundan beşinci yükün karesi 0,640,64 kalır; özvektör elemanı pozitif olduğu için yük +0,80+0,80'dir. Ayrıca korelasyon matrisinin toplam varyansı değişken sayısı olan 5'tir, bu yüzden açıklanan varyans 2,16/5=%43,22,16/5 = \%43,2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk dört değişkene ait yüklerin kareleri toplamını hesaplayın.
0,802+(−0,60)2+0,602+0,402=0,64+0,36+0,36+0,16=1,520,80^2 + (-0,60)^2 + 0,60^2 + 0,40^2 = 0,64 + 0,36 + 0,36 + 0,16 = 1,52 bulunur.
Bir temel bileşende yüklerin kareleri toplamı, o bileşenin özdeğerine (λ\lambda) eşit olmalıdır.
2
Beşinci değişkenin temel bileşen yükünün karesini bulun.
l512=λ1−1,52=2,16−1,52=0,64l_{51}^2 = \lambda_1 - 1,52 = 2,16 - 1,52 = 0,64 elde edilir.
Tüm değişkenlerin birinci bileşendeki yüklerinin kareleri toplamı λ1\lambda_1'e eşittir.
3
Beşinci değişkenin yükünün büyüklüğünü ve işaretini belirleyin.
l51=±0,64=±0,80l_{51} = \pm\sqrt{0,64} = \pm 0,80. Özvektör elemanı e51>0e_{51} > 0 olduğu için l51=+0,80l_{51} = +0,80 olmalıdır.
Yük formülü lij=eijλjl_{ij} = e_{ij}\sqrt{\lambda_j} şeklindedir; özdeğerin karekökü her zaman pozitiftir, bu yüzden yükün işareti özvektör elemanının işareti ile aynıdır.
4
Birinci temel bileşenin açıkladığı varyans oranını hesaplayın.
Açıklanan varyans oranı =λ1/p=2,16/5=0,432= \lambda_1 / p = 2,16 / 5 = 0,432 (yani %43,2\%43,2) olarak bulunur.
Korelasyon matrisi kullanıldığında toplam varyans, her değişkenin varyansı 1 kabul edildiği için toplam değişken sayısına (pp) eşittir.

Anahtar Kavram

Temel Bileşen Yükleri ve Açıklanan Varyans Hesaplaması
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Bileşen Yükleri ve Yorumlanması

Bu konudan daha fazla soru