Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı

Enerji Piyasası Düzenleme Kurumu (EPDK) uzmanları, belirli bir sanayi kolundaki işletmelerin aylık ortalama elektrik tüketimini (megawatt-saat, MWh) tahmin etmek istemektedir. Bu sanayi kolundaki işletmelerin aylık tüketim değerlerinin normal dağılıma sahip olduğu bilinmekte ancak kitle varyansı bilinmemektedir.

Rastgele seçilen n=25n=25 işletmenin aylık tüketim değerlerinden elde edilen örneklem ortalaması Xˉ=120\bar{X} = 120 MWh ve örneklem standart sapması S=15S = 15 MWh olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu sanayi kolundaki işletmelerin aylık ortalama elektrik tüketimi (μ\mu) için %90\%90 güven düzeyinde oluşturulacak güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
(Hesaplamalarda kullanılabilecek bazı kritik değerler: Z0.05=1.645Z_{0.05} = 1.645, Z0.10=1.282Z_{0.10} = 1.282, t24,0.05=1.711t_{24, 0.05} = 1.711, t25,0.05=1.708t_{25, 0.05} = 1.708, t24,0.10=1.318t_{24, 0.10} = 1.318)

  1. (114.867,  125.133)(114.867,\; 125.133)Cevap
  2. B
    (115.065,  124.935)(115.065,\; 124.935)
  3. C
    (114.876,  125.124)(114.876,\; 125.124)
  4. D
    (94.335,  145.665)(94.335,\; 145.665)
  5. E
    (95.325,  144.675)(95.325,\; 144.675)

Cevap

Doğru güven aralığı (114.867,  125.133)(114.867,\; 125.133) şeklindedir.
Verilen problemde kitle varyansı bilinmemektedir. Bu durumda ortalama tahmininde doğru yaklaşım t-dağılımı kullanmaktır. Serbestlik derecesi n−1=25−1=24n-1 = 25-1 = 24'tür. %90\%90 güven düzeyi için iki yönlü testte α/2=0.05\alpha/2 = 0.05 olur. Tablodan alınan kritik değer t24,0.05=1.711t_{24, 0.05} = 1.711'dir. Standart hata ise Sn=155=3\frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{15}{5} = 3 olarak bulunur. Formüle yerleştirildiğinde Xˉ±t×SXˉ⇒120±1.711×3⇒120±5.133\bar{X} \pm t \times S_{\bar{X}} \Rightarrow 120 \pm 1.711 \times 3 \Rightarrow 120 \pm 5.133 elde edilir. Bu da bizi (114.867,  125.133)(114.867,\; 125.133) aralığına götürür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen parametrelerin tespit edilmesi.
Örneklem çapı n=25n = 25, örneklem ortalaması Xˉ=120\bar{X} = 120, örneklem standart sapması S=15S = 15, güven düzeyi 1−α=0.901 - \alpha = 0.90.
Güven aralığı formülünde kullanılacak bileşenlerin belirlenmesi.
2
Kullanılacak dağılımın ve kritik değerin belirlenmesi.
Kitle varyansı bilinmediği ve örneklem çapı küçük (n<30n < 30) olduğu için t-dağılımı kullanılmalıdır. Serbestlik derecesi v=n−1=24v = n - 1 = 24'tür. α=0.10\alpha = 0.10 olduğundan α/2=0.05\alpha/2 = 0.05'tir. Kullanılacak kritik değer: t24,0.05=1.711t_{24, 0.05} = 1.711.
Varyans bilinmediğinde ve n<30 olduğunda Merkezi Limit Teoremi'nin doğrudan kullanımı yerine Student's t-dağılımı daha kesin ve doğru sonuç verir.
3
Hata payının (Margin of Error) hesaplanması.
Hata payı E=t24,0.05×Sn=1.711×1525=1.711×155=1.711×3=5.133E = t_{24, 0.05} \times \frac{S}{\sqrt{n}} = 1.711 \times \frac{15}{\sqrt{25}} = 1.711 \times \frac{15}{5} = 1.711 \times 3 = 5.133.
Güven aralığının sınırlarını bulmak için ortalamadan ne kadar sapılabileceğinin tespit edilmesi.
4
Güven aralığı sınırlarının oluşturulması.
Alt sınır: 120−5.133=114.867120 - 5.133 = 114.867. Üst sınır: 120+5.133=125.133120 + 5.133 = 125.133.
Bulunan hata payının örneklem ortalamasından çıkarılması ve toplanması ile aralığın elde edilmesi.

Anahtar Kavram

Kitle varyansı bilinmediğinde t-dağılımı kullanarak tek kitle ortalaması için güven aralığı hesaplama.
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru