Bir ölçüm cihazından elde edilen bağımsız hata miktarları X_1, X_2, \dots, X_n rastgele ör… — KPSS İstatistik

Bir ölçüm cihazından elde edilen bağımsız hata miktarları $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemi ile modellenmektedir. Bu hataların olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{1}{2\theta}, & -\theta < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Bir araştırmacı, dağılımın yayılımını yansıtan $\theta^2$ parametresini tahmin etmek amacıyla aşağıdaki $T$ istatistiğini önermiştir:

T = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin $\theta^2$ parametresi için Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{4(5n+1)}{45n} \theta^4$ Cevap
B
$\frac{4}{45n} \theta^4$
C
$\frac{5n+4}{45n} \theta^4$
D
$\frac{9}{45n} \theta^4$
E
$\frac{4(n+1)}{45n} \theta^4$

Cevap

T

tahmin edicisinin beklenen değeri ve varyansı hesaplandıktan sonra, yanlı olduğu tespit edilerek formülde yan karesi eklendiğinde sonuç

\frac{4(5n+1)}{45n} \theta^4

olarak bulunur.

MSE hesaplamak için varyans ve yan karesi (Bias^2) toplamı bulunmalıdır. T'nin beklenen değeri düzgün dağılımın integrali alınarak E[T] = \theta^2/3 olarak bulunur. Tahmin edilmesi istenen parametre \theta^2 olduğu için yan miktarı (Bias) = E[T] - \theta^2 = -2\theta^2/3'tür. T'nin varyansı ise Var(T) = 4\theta^4 / 45n olarak hesaplanır. MSE = Var(T) + Bias^2 işlemi yapıldığında sonuç 4(5n+1)\theta^4 / 45n olacaktır.

Adım Adım Çözüm

X

'in karesinin beklenen değerini düzgün dağılımın integralini kullanarak bulmak.

E[X^2] = \int_{-\theta}^\theta x^2 \frac{1}{2\theta} dx = \frac{1}{2\theta} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-\theta}^\theta = \frac{1}{2\theta} \left( \frac{2\theta^3}{3} \right) = \frac{\theta^2}{3}

T

tahmin edicisinin beklenen değerini bulmak için öncelikle

X_i^2

'nin beklenen değeri gereklidir.

T

'nin beklenen değerini hesaplayıp, tahmin edilen

\theta^2

parametresinden çıkararak yan miktarını (Bias) belirlemek.

E[T] = E\left[\frac{1}{n} \sum X_i^2\right] = \frac{\theta^2}{3}

. Yan (Bias) =

E[T] - \theta^2 = \frac{\theta^2}{3} - \theta^2 = -\frac{2\theta^2}{3}

Hata kareler ortalaması (MSE) hesaplamasında yan miktarının karesi (Bias^2) formülün bir parçasıdır.

E[X^4]

değerini bulup,

Var(X^2) = E[X^4] - (E[X^2])^2

formülünü uygulamak.

E[X^4] = \int_{-\theta}^\theta x^4 \frac{1}{2\theta} dx = \frac{\theta^4}{5}

. Buradan

Var(X^2) = \frac{\theta^4}{5} - \left(\frac{\theta^2}{3}\right)^2 = \frac{4\theta^4}{45}

T

tahmin edicisinin varyansına ulaşmak için örneklemi oluşturan her bir terimin varyansını bulmak zorunludur.

Var(T)

'yi bulduktan sonra

MSE(T) = Var(T) + [Bias(T)]^2

denklemini çözmek.

Var(T) = \frac{1}{n} \left( \frac{4\theta^4}{45} \right) = \frac{4\theta^4}{45n}

. Dolayısıyla

MSE(T) = \frac{4\theta^4}{45n} + \left(-\frac{2\theta^2}{3}\right)^2 = \frac{4\theta^4}{45n} + \frac{4\theta^4}{9} = \frac{4\theta^4 + 20n\theta^4}{45n} = \frac{4(5n+1)}{45n}\theta^4

MSE formülüne göre elde edilen tüm değerler yerine konularak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE), tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

İpuçları

Hata Kareler Ortalaması (MSE) hesaplamasında her zaman varyans ile yan miktarının karesinin toplamı kullanılmalıdır:

MSE(T) = Var(T) + [Bias(T)]^2

Öncelikle

E[X^2]

E[X^4]

değerlerini, verilen

(-\theta, \theta)

aralığındaki düzgün dağılımın integralini hesaplayarak bulunuz.

Daha Fazla Pratik

Bu kavramı pekiştirmek için üstel (exponential) veya normal dağılımdan çekilmiş örneklemler üzerinden çeşitli yanlı tahmin edicilerin MSE'lerini karşılaştıran problemler çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak MSE'yi doğrudan beklenen değer üzerinden hesaplayabilirsiniz:

MSE(T) = E[(T - \theta^2)^2] = E[T^2] - 2\theta^2 E[T] + \theta^4

. Bu yaklaşım da aynı sonucu verecektir ancak

E[T^2]

'yi bulmak ek işlem gerektirir.

Tahmini Süre:3m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru