Bir malzeme bilimi laboratuvarında, yeni geliştirilen bir kompozit malzemenin aşırı ısı al… — KPSS İstatistik

Bir malzeme bilimi laboratuvarında, yeni geliştirilen bir kompozit malzemenin aşırı ısı altında dayanım süresi test edilmektedir. Malzemede mikro çatlakların oluşmasına kadar geçen sürenin, bilinmeyen $\theta$ ortalamasına sahip üstel dağılıma uyduğu varsayılmaktadır. Bu malzemeden bağımsız olarak seçilen $4$ örneklem için çatlak oluşma süreleri $X_1, X_2, X_3, X_4$ olarak gözlemlenmiştir.

$\theta$ parametresini tahmin etmek için aşağıdaki iki yansız tahmin edici önerilmiştir:

$\hat{\theta}_1 = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{4}$

$\hat{\theta}_2 = \frac{1}{8}X_1 + \frac{1}{8}X_2 + \frac{1}{4}X_3 + \frac{1}{2}X_4$
\Buna göre, $\hat{\theta}_1$ tahmin edicisinin $\hat{\theta}_2$ tahmin edicisine göre göreli etkinliği $\text{eff}(\hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2)$ ile $\hat{\theta}_2$ tahmin edicisinin mutlak etkinliği sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
*(Not: Göreli etkinlik $\text{eff}(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)}$ olarak tanımlanmıştır.)*

$\frac{11}{8}$ ve $\frac{8}{11}$ Cevap
B
$\frac{8}{11}$ ve $\frac{11}{8}$
C
$4$ ve $\frac{1}{4}$
D
$\frac{11}{8}$ ve $\frac{32}{11}$
E
$\frac{11}{8}$ ve $1$

Cevap

\frac{11}{8}

\frac{8}{11}

Verilen üstel dağılım için

Var(X)=\theta^2

'dir. Birinci tahmin edicinin varyansı

Var(\hat{\theta}_1) = \theta^2/4

'tür. İkinci tahmin edicinin varyansı katsayıların kareleri alınarak hesaplandığında

Var(\hat{\theta}_2) = \frac{11}{32}\theta^2

bulunur. Göreli etkinlik formülü gereği

Var(\hat{\theta}_2) / Var(\hat{\theta}_1) = 11/8

elde edilir. Mutlak etkinlik için Cramer-Rao Alt Sınırı (CRLB) hesaplanır. Fisher bilgisi

I(\theta) = 1/\theta^2

ve CRLB =

1/(n \cdot I(\theta)) = \theta^2/4

olur.

\hat{\theta}_2

'nin mutlak etkinliği ise CRLB /

Var(\hat{\theta}_2)

oranından

8/11

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

Üstel dağılımın temel özelliklerini ve tahmin edicilerin varyanslarını belirle.

X \sim Exp(1/\theta)

dağılımı için

E[X] = \theta

Var(X) = \theta^2

dir.

Tahmin edicilerin varyanslarını hesaplamak için kitle varyansına ihtiyaç vardır.

Birinci tahmin edicinin (örneklem ortalaması) varyansını hesapla.

Var(\hat{\theta}_1) = Var(\bar{X}) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{\theta^2}{4}

Göreli etkinlik ve CRLB kıyaslaması için temel varyans değeri gereklidir.

İkinci tahmin edicinin (ağırlıklı ortalama) varyansını hesapla.

Var(\hat{\theta}_2) = (\frac{1}{8})^2 Var(X_1) + (\frac{1}{8})^2 Var(X_2) + (\frac{1}{4})^2 Var(X_3) + (\frac{1}{2})^2 Var(X_4) = (\frac{1}{64} + \frac{1}{64} + \frac{1}{16} + \frac{1}{4})\theta^2 = \frac{22}{64}\theta^2 = \frac{11}{32}\theta^2

Göreli etkinliğin pay kısmını oluşturacak değer bulunmalıdır.

Göreli etkinliği hesapla.

\text{eff}(\hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2) = \frac{Var(\hat{\theta}_2)}{Var(\hat{\theta}_1)} = \frac{11\theta^2/32}{\theta^2/4} = \frac{11}{32} \times \frac{4}{1} = \frac{11}{8}

Sorusunun ilk kısmındaki istenen değerdir.

Cramer-Rao Alt Sınırını (CRLB) hesapla.

f(x;\theta) = \frac{1}{\theta}e^{-x/\theta}

için

\ln f = -\ln\theta - \frac{x}{\theta}

. Türev alınırsa

I(\theta) = -E[\frac{\partial^2 \ln f}{\partial \theta^2}] = \frac{1}{\theta^2}

. CRLB =

\frac{1}{n \cdot I(\theta)} = \frac{1}{4 \cdot (1/\theta^2)} = \frac{\theta^2}{4}

Mutlak etkinlik hesaplaması için teorik en düşük varyans sınırı bulunmalıdır.

İkinci tahmin edicinin mutlak etkinliğini hesapla.

\text{Mutlak Etkinlik}(\hat{\theta}_2) = \frac{CRLB}{Var(\hat{\theta}_2)} = \frac{\theta^2/4}{11\theta^2/32} = \frac{1}{4} \times \frac{32}{11} = \frac{8}{11}

Sorunun ikinci kısmındaki istenen değerdir.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerin Etkinliği, Göreli Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru