Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bir malzeme mühendisi, yeni üretilen kompozit bir malzemenin kırılma gerilimini (MPa cinsinden) incelemektedir. Kırılma gerilimini temsil eden XX rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametre olmak üzere,

f(x;θ)={2xθe−x2θ,x>00,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2x}{\theta} e^{-\frac{x^2}{\theta}}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

şeklinde modellenmiştir.

Bu malzemeden rastgele seçilen nn birimlik X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bağımsız örneklemi temel alındığında, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre θ\theta parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i
  2. B
    ∑i=1n(Xi−Xˉ)2\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2
  3. ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2Cevap
  4. D
    ∏i=1nXi\prod_{i=1}^n X_i
  5. E
    max⁡(X1,X2,…,Xn)\max(X_1, X_2, \dots, X_n)

Cevap

∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre, olabilirlik fonksiyonu L(θ;x)=g(T(x),θ)⋅h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x}) formunda yazılabilmelidir. Verilen dağılım için olabilirlik fonksiyonu oluşturulup düzenlendiğinde, üstel ifadenin içinde ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2 terimi ortaya çıkar ve parametre olan θ\theta'ya bağlı bileşen yalnızca bu toplam üzerinden örneklem değerlerine bağımlıdır. Çarpanlarına ayrılmış fonksiyonda, parametre bağımlılığını taşıyan tek örneklem fonksiyonu budur; bu nedenle yeterli istatistik ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
nn çaplı bağımsız örneklem için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu olan olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluşturmak.
L(θ;x)=∏i=1n(2xiθe−xi2θ)L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{2x_i}{\theta} e^{-\frac{x_i^2}{\theta}} \right)
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi, yeterli istatistiğin doğrudan olabilirlik fonksiyonunun yapısından elde edilmesine dayanır.
2
Olabilirlik fonksiyonundaki çarpım işlemlerini düzenleyerek terimleri gruplandırmak.
L(θ;x)=2nθn(∏i=1nxi)e−1θ∑i=1nxi2L(\theta; \mathbf{x}) = \frac{2^n}{\theta^n} \left( \prod_{i=1}^n x_i \right) e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i^2}
Fonksiyonu, sadece gözlemlere bağlı olan bir kısım ile hem parametreyi hem de örneklem istatistiğini içeren diğer bir kısım olarak iki çarpan halinde yazmak gereklidir.
3
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'nin L(θ;x)=g(T(x),θ)⋅h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x}) formunu uygulayarak T(x)T(\mathbf{x}) yeterli istatistiğini belirlemek.
Burada h(x)=2n∏i=1nxih(\mathbf{x}) = 2^n \prod_{i=1}^n x_i (sadece örnekleme bağlı) ve g(T(x),θ)=1θne−1θ∑i=1nxi2g(T(\mathbf{x}), \theta) = \frac{1}{\theta^n} e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i^2} olarak ayrılır. Parametre θ\theta'ya bağlı kısımdaki örneklem fonksiyonu T(X)=∑i=1nXi2T(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n X_i^2'dir.
Teoreme göre, parametreyi barındıran çarpan g(T(x),θ)g(T(\mathbf{x}), \theta) formunda olmalıdır. Bu durum, T(x)T(\mathbf{x}) istatistiğinin yeterli olduğunu kanıtlar.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi kullanılarak bir parametre için yeterli (sufficient) istatistiğin bulunması

Alternatif Yöntem

Olabilirlik fonksiyonunun doğrudan doğal logaritmasını alarak log-olabilirlik (lnLln L) fonksiyonunu oluşturmak ve bu fonksiyonun parametreye (θ\theta) bağlı olan terimlerindeki istatistiği incelemek de (Çarpanlara Ayırma Teoremi'nin logaritmik formu) aynı yeterli istatistiği verecektir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bu konudan daha fazla soru