Examkin

Soru

Zorluk: KolayTutarlılık (Consistency)

Bir kitleye ait beklenen değer E(X)=θE(X) = \theta ve varyans Var(X)=σ2<∞Var(X) = \sigma^2 < \infty olsun. Bu kitleden çekilen nn birimlik bağımsız ve aynı dağılımlı bir örnekleme dayalı olarak tanımlanan θ^1=X1\hat{\theta}_1 = X_1 ve θ^2=Xˉ+1n\hat{\theta}_2 = \bar{X} + \frac{1}{n} tahmin edicileri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. θ^1\hat{\theta}_1 yansız ancak tutarsızdır; θ^2\hat{\theta}_2 yanlı ancak tutarlıdır.Cevap
  2. B
    Her iki tahmin edici de hem yansız hem de tutarlıdır.
  3. C
    θ^1\hat{\theta}_1 tutarlıdır; θ^2\hat{\theta}_2 ise tutarlı değildir.
  4. D
    θ^1\hat{\theta}_1 yanlıdır; θ^2\hat{\theta}_2 ise yansızdır.
  5. E
    Her iki tahmin edici de hem yanlı hem de tutarsızdır.

Cevap

İlk tahmin edici (X1X_1) yansız olmasına rağmen varyansı sıfıra gitmediği için tutarsızdır; ikinci tahmin edici ise yanlı olmasına rağmen hata kareler ortalaması sıfıra gittiği için tutarlıdır.
Tahmin edicilerin tutarlılığı, örneklem hacmi büyüdükçe tahmin edicinin gerçek parametre değerine ne kadar yaklaştığıyla ilgilidir. Sadece ilk gözlemi kullanan tahmin edici (X1X_1) yansızdır ancak bilgi artışı (n'in artması) hassasiyetini artırmaz, dolayısıyla tutarsızdır. Örneklem ortalamasına bir ekleme yapan tahmin edici (Xˉ+1/n\bar{X} + 1/n) ise yanlıdır, fakat n büyüdükçe bu yan etkisi (1/n1/n) ve varyansı (Var(Xˉ)Var(\bar{X})) sıfıra gider, bu da onu tutarlı kılar.

Adım Adım Çözüm

1
θ^1=X1\hat{\theta}_1 = X_1 tahmin edicisinin özelliklerini belirle.
E(θ^1)=θE(\hat{\theta}_1) = \theta (Yansız) ve Var(θ^1)=σ2Var(\hat{\theta}_1) = \sigma^2.
Tek bir gözlemin beklenen değeri kitle ortalamasına eşittir, ancak varyansı örneklem hacminden (nn) bağımsızdır.
2
θ^1\hat{\theta}_1 için tutarlılığı kontrol et.
lim⁡n→∞Var(θ^1)=σ2≠0\lim_{n \to \infty} Var(\hat{\theta}_1) = \sigma^2 \neq 0.
Varyans n→∞n \to \infty iken sıfıra yakınsamadığı için tahmin edici tutarsızdır.
3
θ^2=Xˉ+1n\hat{\theta}_2 = \bar{X} + \frac{1}{n} tahmin edicisinin özelliklerini belirle.
E(θ^2)=θ+1nE(\hat{\theta}_2) = \theta + \frac{1}{n} (Yanlı) ve Var(θ^2)=Var(Xˉ)=σ2nVar(\hat{\theta}_2) = Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}.
Örneklem ortalamasına sabit bir değer eklenmesi varyansı değiştirmez ancak beklenen değeri kaydırır.
4
θ^2\hat{\theta}_2 için tutarlılığı kontrol et.
lim⁡n→∞E(θ^2)=θ\lim_{n \to \infty} E(\hat{\theta}_2) = \theta ve lim⁡n→∞Var(θ^2)=0\lim_{n \to \infty} Var(\hat{\theta}_2) = 0.
Hata Kareler Ortalaması (MSE) sıfıra gittiği için (veya olasılıkta yakınsama şartı sağlandığı için) tahmin edici tutarlıdır.

Anahtar Kavram

Bir tahmin edicinin tutarlı olması için örneklem hacmi sonsuza giderken parametreye olasılıkta yakınsaması gerekir; bu genellikle asimptotik yansızlık ve varyansın sıfıra gitmesi ile sağlanır.

İpuçları

1
Tutarlılık için örneklem hacmi (nn) sonsuza giderken tahmin edicinin varyansının ve yan miktarının nasıl değiştiğine bakın.
2
X1X_1 tahmin edicisinin varyansı nn'e bağlı mıdır? Eğer değilse n→∞n \to \infty limitinde sıfır olur mu?
3
Hata Kareler Ortalaması (MSE) hem yan miktarının karesini hem de varyansı içerir. MSE'si sıfıra giden tahmin ediciler tutarlıdır.

Daha Fazla Pratik

Yansızlık ve tutarlılık arasındaki farkı daha iyi anlamak için sadece X1X_1 ve XnX_n gözlemlerinin ortalamasını alan bir tahmin edicinin özelliklerini inceleyin.

Alternatif Yöntem

Chebyshev eşitsizliğini kullanarak olasılıkta yakınsamayı kontrol edebilirsiniz; ancak bu soru için beklenen değer ve varyans limitlerine bakmak en hızlı yoldur.
Tahmini Süre:50s
Bu soruyu puanla

Konular

Tutarlılık (Consistency)

Bu konudan daha fazla soru