Tarım ve Orman Bakanlığına bağlı bir araştırma enstitüsü, bir bölgedeki büyükbaş hayvan iş… — KPSS İstatistik

Tarım ve Orman Bakanlığına bağlı bir araştırma enstitüsü, bir bölgedeki büyükbaş hayvan işletmelerinin günlük ortalama süt üretimini tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yapacaktır. İşletmeler büyüklüklerine göre üç tabakaya ayrılmıştır. Aşağıdaki tabloda işletmelerin tabakalara göre sayıları ( $N_h$ ) ve süt üretim miktarlarına ait standart sapmaları ( $S_h$ ) verilmiştir:

Tabaka	İşletme Sayısı ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
1. Tabaka (Küçük)	600	4
2. Tabaka (Orta)	300	6
3. Tabaka (Büyük)	100	12

Araştırmada tabakalardaki örnekleme birimi maliyetlerinin eşit olduğu varsayılmakta ve toplam $n = 270$ işletmelik bir örneklem seçilmesi planlanmaktadır.

Buna göre, 2. Tabaka (Orta İşletmeler) için varyansı en küçükleyen dağıtım yöntemi kullanıldığında elde edilecek örneklem hacmi, orantılı dağıtım yöntemi kullanıldığında elde edilecek örneklem hacminden kaç fazladır?

A
3
9Cevap
C
33
D
42
E
90

Cevap

Birim maliyetler eşit olduğunda varyansı en küçükleyen yöntem Neyman dağıtımıdır. Orantılı dağıtımda 2. tabaka için örneklem hacmi

n_2 = n \times \frac{N_2}{N} = 270 \times \frac{300}{1000} = 81

olarak hesaplanır. Neyman dağıtımında ise

n_2 = n \times \frac{N_2 S_2}{\sum(N_h S_h)}

formülü kullanılır.

\sum(N_h S_h) = (600 \times 4) + (300 \times 6) + (100 \times 12) = 2400 + 1800 + 1200 = 5400

bulunur. Buna göre 2. tabaka için Neyman dağıtımı sonucu

n_2 = 270 \times \frac{1800}{5400} = 90

olur. İki yöntem arasındaki fark

90 - 81 = 9

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

Orantılı dağıtım için 2. tabaka örneklem hacmini hesaplama

Kitle hacmi

N = 1000

, tabaka hacmi

N_2 = 300

n = 270

olduğundan;

n_2^{(Orantılı)} = 270 \times (300 / 1000) = 81

bulunur.

Orantılı dağıtımda her tabakadan, o tabakanın kitledeki oranına göre birim seçilir.

Neyman dağıtımı için gerekli olan

N_h \times S_h

çarpımlarını ve toplamını bulma

N_1 S_1 = 2400

N_2 S_2 = 1800

N_3 S_3 = 1200

olarak hesaplanır ve ağırlıklandırılmış standart sapmaların toplamı

\sum N_h S_h = 5400

bulunur.

Maliyetler eşit olduğunda varyansı en küçükleyen yöntem olan Neyman dağıtım formülünün paydası için bu toplama ihtiyaç vardır.

Neyman dağıtımı ile 2. tabaka örneklem hacmini hesaplama

n_2^{(Neyman)} = 270 \times (1800 / 5400) = 270 \times (1/3) = 90

bulunur.

Neyman dağıtımında örneklem, tabakaların büyüklüğü ve değişkenliği ile orantılı olarak dağıtılır.

İki yöntem arasındaki farkı hesaplama

90 - 81 = 9

bulunur.

Soruda 2. tabaka için iki dağıtım yöntemi sonucunda hesaplanacak örneklem hacimleri arasındaki fark sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Birim maliyetler eşitken varyansı en küçük yapan örneklem dağıtım yönteminin Neyman dağıtımı olduğunun bilinmesi ve orantılı dağıtım ile formüllerinin uygulanabilmesi.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru