Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorEn Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği (Invariance)

Bir sigorta şirketine belirli bir branşta günlük gelen hasar ihbar sayısının X∼Poisson(λ)X \sim \text{Poisson}(\lambda) dağılımına uyduğu varsayılmaktadır. Bu branşta herhangi bir günde *hiç hasar ihbarı gelmeme* olasılığı olan η=P(X=0)=e−λ\eta = P(X=0) = e^{-\lambda} parametresi, birbirinden bağımsız nn günlük rastgele bir örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n) kullanılarak tahmin edilmek istenmektedir.

Buna göre, η\eta parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) η^\hat{\eta} ve bu tahmin edicinin özellikleri hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. η^=e−Xˉ\hat{\eta} = e^{-\bar{X}} şeklinde elde edilir; değişmezlik (invariance) özelliği gereği tutarlı bir tahmin edici olmasına rağmen sonlu örneklemlerde yanlıdır ve asimptotik varyansı λe−2λn\frac{\lambda e^{-2\lambda}}{n} olarak hesaplanır.Cevap
  2. B
    η^=e−Xˉ\hat{\eta} = e^{-\bar{X}} şeklindedir ve yansız bir tahmin edicinin üstel fonksiyonu olduğu için kendisi de her örneklem çapında yansızdır; ayrıca asimptotik varyansı e−2λnλ\frac{e^{-2\lambda}}{n\lambda} olarak elde edilir.
  3. C
    Değişmezlik (invariance) prensibi gereğince η^\hat{\eta}'nın elde edilebilmesi için η=e−λ\eta = e^{-\lambda} dönüşümünün doğrusal olması zorunludur; aksi takdirde tahmin edici asimptotik yansızlık özelliğini tamamen kaybeder.
  4. D
    η^\hat{\eta} tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı türevi üzerinden asimptotik varyans hesaplandığında değer λ2e−λn\frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{n} bulunur ve bu tahmin edici düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edici (UMVUE) olur.
  5. E
    En çok olabilirlik fonksiyonunun logaritması alındığında üstel ifade doğrusallaşacağından, η^\hat{\eta} tahmin edicisinin varyansı doğrudan Poisson dağılımının kitle varyansı olan λn\frac{\lambda}{n} değerine eşit olur.

Cevap

η^=e−Xˉ\hat{\eta} = e^{-\bar{X}} tahmin edicisi tutarlıdır, ancak sonlu örneklemlerde yanlıdır ve asimptotik varyansı λe−2λn\frac{\lambda e^{-2\lambda}}{n}'dir.
Poisson dağılımında parametre λ\lambda'nın en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) Xˉ\bar{X}'tir. Değişmezlik (invariance) prensibi kullanılarak η=e−λ\eta = e^{-\lambda} parametresinin MLE'si η^=e−Xˉ\hat{\eta} = e^{-\bar{X}} olarak bulunur. e−xe^{-x} dışbükey (konveks) bir fonksiyon olduğu için Jensen Eşitsizliği uyarınca E[e−Xˉ]>e−λE[e^{-\bar{X}}] > e^{-\lambda}'dır, dolayısıyla sonlu örneklemlerde yanlıdır (biased). Ancak Sürekli Dönüşüm Teoremi uyarınca tutarlıdır (consistent). Asimptotik varyansı ise Delta Metodu (Avar(g(θ^))=[g′(θ)]2⋅Avar(θ^)Avar(g(\hat{\theta})) = [g'(\theta)]^2 \cdot Avar(\hat{\theta})) ile hesaplanır: g′(λ)=−e−λg'(\lambda) = -e^{-\lambda}'nın karesi e−2λe^{-2\lambda} ve Xˉ\bar{X}'in asimptotik varyansı λ/n\lambda/n çarpıldığında sonuç λe−2λn\frac{\lambda e^{-2\lambda}}{n} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
λ\lambda parametresi için En Çok Olabilirlik Tahmin Edicisini (MLE) bul.
Poisson dağılımı için olabilirlik fonksiyonunun logaritması alınıp türevlendiğinde λ^=Xˉ\hat{\lambda} = \bar{X} (örneklem ortalaması) bulunur.
MLE'nin değişmezlik özelliğini kullanmadan önce temel parametrenin tahmin edicisine ihtiyaç vardır.
2
MLE'nin değişmezlik (invariance) prensibini uygula.
η=e−λ\eta = e^{-\lambda} olduğundan, tahmin edici doğrudan η^=e−λ^=e−Xˉ\hat{\eta} = e^{-\hat{\lambda}} = e^{-\bar{X}} olarak elde edilir.
Değişmezlik kuralı, τ(θ)\tau(\theta)'nın MLE'sinin τ(θ^)\tau(\hat{\theta}) olduğunu söyler.
3
Tahmin edicinin yansızlık (unbiasedness) özelliğini kontrol et.
f(x)=e−xf(x) = e^{-x} fonksiyonu kesin dışbükeydir (strictly convex). Jensen Eşitsizliği gereği E[e−Xˉ]>e−E[Xˉ]=e−λE[e^{-\bar{X}}] > e^{-E[\bar{X}]} = e^{-\lambda} olur. Bu nedenle sonlu örneklemlerde yanlıdır (bias içerir).
Yansız bir tahmin edicinin doğrusal olmayan bir fonksiyonu genel olarak yansızlık özelliğini korumaz.
4
Tahmin edicinin tutarlılığını (consistency) Sürekli Dönüşüm Teoremi (Continuous Mapping Theorem) ile değerlendir.
Zayıf Büyük Sayılar Yasası'na göre Xˉ→Pλ\bar{X} \xrightarrow{P} \lambda dır. g(t)=e−tg(t) = e^{-t} sürekli bir fonksiyon olduğundan e−Xˉ→Pe−λe^{-\bar{X}} \xrightarrow{P} e^{-\lambda} olur. Tahmin edici tutarlıdır.
MLE'ler asimptotik olarak yansız ve tutarlıdır; sürekli fonksiyonları da tutarlılığı korur.
5
Delta Metodu ile asimptotik varyansı hesapla.
Avar(η^)=[g′(λ)]2⋅Avar(λ^)\text{Avar}(\hat{\eta}) = [g'(\lambda)]^2 \cdot \text{Avar}(\hat{\lambda}). Burada g(λ)=e−λg(\lambda) = e^{-\lambda} ve türevi g′(λ)=−e−λg'(\lambda) = -e^{-\lambda}'dır. X∼Poisson(λ)X \sim \text{Poisson}(\lambda) için Avar(Xˉ)=λn\text{Avar}(\bar{X}) = \frac{\lambda}{n}'dir. Sonuç: (−e−λ)2⋅λn=λe−2λn(-e^{-\lambda})^2 \cdot \frac{\lambda}{n} = \frac{\lambda e^{-2\lambda}}{n}
Büyük örneklemlerde doğrusal olmayan fonksiyonların varyansını Cramer-Rao alt sınırına ulaştıran asimptotik teorem Delta Metodudur.

Anahtar Kavram

MLE Değişmezliği, Delta Metodu ve Jensen Eşitsizliği
Bu soruyu puanla

Konular

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği (Invariance)

Bu konudan daha fazla soru