Examkin

Soru

Zorluk: KolayRassal Yürüyüş (Random Walk)

Bir finans kurumunda geliştirilen kredi risk takip sisteminde, bir müşterinin risk puanı başlangıçta 100100 olarak belirlenmiştir. Bu puan, her işlem döneminde birbirinden bağımsız olarak p=0,7p = 0,7 olasılıkla 11 puan artmakta veya q=0,3q = 0,3 olasılıkla 11 puan azalmaktadır. Bu süreç basit bir rassal yürüyüş olarak modellendiğine göre, 1010 işlem dönemi sonunda müşterinin beklenen risk puanı kaçtır?

  1. A
    100
  2. B
    101
  3. 104Cevap
  4. D
    107
  5. E
    110

Cevap

Müşterinin 10 işlem dönemi sonundaki beklenen risk puanı 104'tür.
Beklenen değerin doğrusallık özelliği gereği, 10 dönem sonundaki beklenen puan, başlangıç puanı ile her dönemdeki beklenen değişimlerin toplamına eşittir. Her bir dönemde beklenen değişim 0,7−0,3=0,40,7 - 0,3 = 0,4 olduğundan, 10 dönemde toplam 44 puanlık bir artış beklenir ve bu da 100+4=104100 + 4 = 104 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Parametrelerin tanımlanması
X0=100X_0 = 100, n=10n = 10, p=0,7p = 0,7, q=0,3q = 0,3
Problemdeki verilerin rassal yürüyüş modeline uygun şekilde sınıflandırılması gerekir.
2
Her bir adımdaki beklenen değişim miktarının (E[Z]E[Z]) hesaplanması
E[Z]=(1×p)+(−1×q)=0,7−0,3=0,4E[Z] = (1 \times p) + (-1 \times q) = 0,7 - 0,3 = 0,4
Rassal yürüyüşün her bir adımda hangi yöne ne kadar eğilim gösterdiğini belirlemek için gereklidir.
3
Toplam beklenen değerin (E[X10]E[X_{10}]) hesaplanması
E[X10]=X0+n×E[Z]=100+10×0,4=104E[X_{10}] = X_0 + n \times E[Z] = 100 + 10 \times 0,4 = 104
Doğrusal özellik kullanılarak başlangıç durumuna toplam beklenen değişimin eklenmesiyle sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Basit bir rassal yürüyüşte nn adım sonundaki beklenen konum E[Xn]=X0+n(p−q)E[X_n] = X_0 + n(p - q) formülü ile hesaplanır.

Alternatif Yöntem

Süreci YY başarı sayısı (artış) olan bir Binom dağılımı (n=10,p=0,7n=10, p=0,7) olarak düşünürsek; toplam puan X10=100+Y−(10−Y)=100+2Y−10X_{10} = 100 + Y - (10 - Y) = 100 + 2Y - 10 olur. E[Y]=10×0,7=7E[Y] = 10 \times 0,7 = 7 olduğu bilindiğine göre, E[X10]=100+2(7)−10=104E[X_{10}] = 100 + 2(7) - 10 = 104 olarak da hesaplanabilir.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Rassal Yürüyüş (Random Walk)

Bu konudan daha fazla soru