Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorLilliefors Testi

Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) Aktüerya Daire Başkanlığında görevli bir uzman, erken emeklilik başvurularının sonuçlandırılma sürelerinin normal dağılıma uyup uymadığını incelemektedir. Uzman, rastgele seçilen 120120 başvuru dosyasından elde ettiği veriler üzerinden örneklem ortalaması ve varyansını hesaplamış, bu tahminleri kullanarak standart Kolmogorov-Smirnov (K-S) testini uygulamıştır. Test sonucunda, hesaplanan istatistiğin standart K-S kritik değerler tablosundaki eşik değerden küçük olduğunu bularak normallik varsayımının sağlandığına (H0H_0 kabul) karar vermiştir.

Çalışmayı inceleyen kıdemli bir istatistikçi, anakütle parametreleri örneklemden tahmin edildiği için standart K-S testinin kullanımının hatalı olduğunu, bu durumun testin gücünü düşürerek istatistiksel sonuçları saptırdığını belirtmiş ve veri setine Lilliefors testinin uygulanması gerektiğini ifade etmiştir.

Buna göre, kıdemli istatistikçinin vurguladığı yöntemsel hatanın teorik sonucu ve Lilliefors testinin getirdiği çözüm aşağıdakilerden hangisinde en doğru şekilde ifade edilmiştir?

  1. Parametrelerin örneklemden tahmin edilmesi, ampirik dağılımı teorik dağılıma yapay olarak yaklaştırdığı için standart K-S testi fazla muhafazakâr kalıp II. Tip hata olasılığını artırır; Lilliefors testi ise aynı anlamlılık düzeyi için daha küçük kritik değerler kullanarak bu sorunu telafi eder.Cevap
  2. B
    Örneklem parametrelerinin kullanılması istatistiksel sapmayı artıracağından K-S testinde I. Tip hata olasılığı nominal değerin çok üzerine çıkar; Lilliefors testi ise serbestlik derecesine bağlı olarak daha büyük kritik değerler kullanarak testin güvenilirliğini sağlar.
  3. C
    Standart K-S testi n>50n > 50 örneklemlerde asimptotik olarak geçerliliğini yitirdiğinden güç kaybı yaşanır; Lilliefors düzeltmesi, büyük örneklemlerde Shapiro-Wilk istatistiğine benzer şekilde logaritmik dönüşümlerle varyansı dengeler.
  4. D
    Sürekli değişkenlerin uyum iyiliği incelenirken beklenen frekans hesabında parametre tahmini kullanılması K-S testini geçersiz kılar; Lilliefors testi ise verileri sınıflandırıp beklenen frekansları 55'in üzerinde tutarak ki-kare tabanlı bir yaklaşım sunar.
  5. E
    Parametreler örneklemden tahmin edildiğinde, verilerin ortalamadan sapmaları yerine ortancadan sapmalarının kullanılması gerekir; Lilliefors testi dizi testlerinde olduğu gibi verileri medyana göre ayırarak dağılım simetrisini test eder.

Cevap

Standart K-S testinde parametreler örneklemden tahmin edildiğinde teorik dağılım ampirik dağılıma uyarlanmış (fit edilmiş) olur, bu da maksimum sapmanın (DD istatistiğinin) yapay olarak küçük çıkmasına yol açar. Test fazla muhafazakâr hale gelerek II. Tip hata olasılığını artırır. Lilliefors testi, eşik değerleri (kritik değerleri) küçülterek bu teorik sorunu çözer.
Doğru seçenek, Lilliefors testinin varlık nedeninin özünü açıklar. Parametreler tahmin edildiğinde Ampirik Kümülatif Dağılım ile Teorik Kümülatif Dağılım birbirine yapay olarak yaklaşır, bu durum DD istatistiğini küçültür ve testin II. Tip hata yapma olasılığını (yanlışı kabul etme) artırır. Lilliefors, standart K-S tabloları yerine, eşit α\alpha düzeyi için daha küçük kritik değerler barındıran tablolar kullanarak bu teorik hatayı giderir.

Adım Adım Çözüm

1
Standart K-S testinin temel varsayımını ve parametre tahmininin yarattığı etkiyi analiz et.
Parametreler (ortalama μ\mu ve varyans σ2\sigma^2) doğrudan örneklemden tahmin edildiğinde, karşılaştırma için oluşturulan teorik normal dağılım eğrisi veriye (ampirik dağılıma) zorunlu ve yapay bir şekilde çok yakın seyreder.
Teorik dağılım verinin kendi içsel özellikleri kullanılarak üretildiği için, aralarındaki fark istatistiksel gerçeklikten daha küçük görünür.
2
Yapay olarak küçülen test istatistiğinin hata türleri üzerindeki sonucunu belirle.
Hesaplanan test istatistiği (DD) standart tablodaki kritik değerden daha kolay küçük kalır. Bu durum testin fazla muhafazakâr davranmasına ve gerçekte normal olmayan bir dağılım için H0H_0'ı reddedememesine (artan II. Tip hata) yol açar.
Normallikten olan asıl sapmalar, parametre uydurma süreci nedeniyle maskelenmiştir.
3
Lilliefors testinin bu probleme getirdiği çözümü tanımla.
Lilliefors, istatistiğin örneklemden tahmin durumundaki gerçek dağılımını Monte Carlo simülasyonlarıyla hesaplayarak, aynı anlamlılık (α\alpha) düzeyi için standart K-S'den daha küçük kritik değerler içeren spesifik bir tablo geliştirmiştir.
Daha küçük çıkan istatistik değerlerini doğru değerlendirebilmek için reddetme bölgesinin sınırını belirleyen kritik değerlerin de aynı oranda küçültülmesi teorik bir zorunluluktur.

Anahtar Kavram

Lilliefors Testinde Parametre Tahmini, Hata Olasılıkları ve Kritik Değer İlişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Lilliefors Testi

Bu konudan daha fazla soru