Savunma Sanayii Başkanlığı'nda (SSB) görevli bir kalite kontrol mühendisi, zorlu hava koşu… — KPSS İstatistik

Savunma Sanayii Başkanlığı'nda (SSB) görevli bir kalite kontrol mühendisi, zorlu hava koşullarında kullanılmak üzere yeni geliştirilen bir batarya tipinin ortalama çalışma süresini ( $\mu$ ) tahmin etmek istemektedir. Kitle varyansının bilinmediği bu durumda, bataryalardan rastgele $16$ adet seçilmiş ve laboratuvar ortamında test edilmiştir. Test sonucunda, örneklem ortalaması $\bar{x} = 450$ saat ve örneklem standart sapması $S = 40$ saat olarak hesaplanmıştır. Batarya çalışma sürelerinin normal dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır.

Buna göre, kitle ortalaması için $\%95$ güven düzeyindeki aralık tahmini ve bu aralığın doğru istatistiksel yorumu aşağıdakilerden hangisinde birlikte verilmiştir?

(Not: $Z_{0.025} = 1.960$ , $t_{15, 0.025} = 2.131$ , $t_{16, 0.025} = 2.120$ olarak alınız.)

A
Güven aralığı $[430.40, 469.60]$ olarak hesaplanır ve bu durum, aynı hacimli tekrarlı örneklemlerden oluşturulacak güven aralıklarının $\%95$ 'inin gerçek kitle ortalamasını kapsayacağı anlamına gelir.
B
Güven aralığı $[428.69, 471.31]$ olarak hesaplanır ve bu durum, gerçek kitle ortalamasının tam olarak $\%95$ olasılıkla bu aralığın içinde yer aldığı anlamına gelir.
C
Güven aralığı $[430.40, 469.60]$ olarak hesaplanır ve bu durum, gerçek kitle ortalamasının tam olarak $\%95$ olasılıkla bu aralığın içinde yer aldığı anlamına gelir.
Güven aralığı $[428.69, 471.31]$ olarak hesaplanır ve bu durum, aynı hacimli tekrarlı örneklemlerden oluşturulacak güven aralıklarının $\%95$ 'inin gerçek kitle ortalamasını kapsayacağı anlamına gelir.Cevap
E
Güven aralığı $[364.76, 535.24]$ olarak hesaplanır ve bu durum, kitledeki bataryaların $\%95$ 'inin çalışma sürelerinin bu aralıkta bulunacağı anlamına gelir.

Cevap

Doğru seçenek, güven aralığının

[428.69, 471.31]

olarak hesaplandığı ve istatistiksel yorumun 'aynı hacimli tekrarlı örneklemlerden oluşturulacak güven aralıklarının %95'inin gerçek ortalamayı kapsayacağı' şeklinde yapıldığı seçenektir.

Doğru seçenekte belirtildiği üzere, kitle varyansının bilinmediği ve örneklem çapının 30'dan küçük (

n=16

) olduğu durumlarda kitle ortalaması için güven aralığı

t

-dağılımı kullanılarak hesaplanmalıdır. Serbestlik derecesi

n-1 = 15

'tir ve kritik değer

2.131

'dir. Standart hata

S/\sqrt{n} = 10

olduğundan, aralık sınırları

450 \pm 21.31

işlemi ile elde edilir. Ayrıca, güven aralığının yorumu teorik açıdan kusursuz verilmiştir; güven düzeyi belirli bir aralığın

\mu

'yü içerme olasılığı değil, aralık oluşturma yönteminin tekrarlı örneklemlerdeki kapsama oranıdır.

Adım Adım Çözüm

Verilen parametrelerin tespit edilmesi.

n = 16

\bar{x} = 450

S = 40

\alpha = 0.05

Güven aralığı formülünde kullanılacak girdileri belirlemek.

Uygun test istatistiğinin (dağılımın) seçilmesi.

Kitle varyansı bilinmediği ve

n=16 < 30

olduğu için Student's t-dağılımı kullanılmalıdır. Serbestlik derecesi:

v = n - 1 = 15

Bilinmeyen varyans durumunda küçük örneklemler için Z dağılımı kullanılamaz.

Kritik t-değerinin belirlenmesi ve standart hatanın (SE) hesaplanması.

Kritik değer

t_{15, 0.025} = 2.131

'dir. Standart hata:

SE = \frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{40}{\sqrt{16}} = \frac{40}{4} = 10

Hata payını (margin of error) bulmak için kritik değer ile standart hatanın çarpılması gerekir.

Hata payının ve aralık sınırlarının hesaplanması.

Hata payı =

2.131 \times 10 = 21.31

. Alt sınır:

450 - 21.31 = 428.69

. Üst sınır:

450 + 21.31 = 471.31

. Güven aralığı:

[428.69, 471.31]

Nokta tahmininden (

\bar{x}

) hata payı çıkarılarak ve eklenerek sınırlar elde edilir.

Sonucun istatistiksel olarak yorumlanması.

Bu aralık, 'aynı koşullarda sürekli tekrarlanan örneklemleme sonucunda elde edilecek tüm güven aralıklarının %95'inin kitle ortalamasını içereceği' anlamına gelir.

Klasik istatistikte

\mu

sabit bir parametredir. Güven düzeyi, tahmin yönteminin uzun vadedeki başarısını ifade eder.

Anahtar Kavram

Kitle Varyansı Bilinmiyorken Ortalama İçin Güven Aralığı ve Frekansçı Yorum

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru