Examkin

Soru

Zorluk: KolayDağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi

Bir istatistiksel simülasyon çalışmasında kullanılan XX sürekli rastgele değişkeni, (−1,1)(-1, 1) aralığında düzgün (uniform) dağılıma sahiptir. Bu değişkenin karesi alınarak Y=X2Y = X^2 şeklinde yeni bir rastgele değişken tanımlanmıştır.

Buna göre, YY değişkeninin 0<y<10 < y < 1 aralığı için birikimli dağılım fonksiyonu FY(y)F_Y(y) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. y\sqrt{y}Cevap
  2. B
    y2\frac{\sqrt{y}}{2}
  3. C
    yy
  4. D
    y2y^2
  5. E
    1−y1 - \sqrt{y}

Cevap

√y√y fonksiyonu, verilen aralıkta YY değişkeninin birikimli dağılımını temsil eder.
Doğru cevap, P(X2≤y)P(X^2 \leq y) ifadesinin −y-\sqrt{y} ile y\sqrt{y} aralığındaki XX değerlerinin olasılığına eşit olduğu gerçeğine dayanır. XX değişkeni (−1,1)(-1, 1) aralığında 1/21/2 yoğunlukla dağıldığı için bu aralıktaki toplam alan y\sqrt{y} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
XX değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) belirle.
fX(x)=11−(−1)=12f_X(x) = \frac{1}{1 - (-1)} = \frac{1}{2} (−1<x<1-1 < x < 1 için).
Düzgün dağılımda yoğunluk fonksiyonu sabit olup 1/(aralık boyu)1/(\text{aralık boyu}) değerine eşittir.
2
Dönüşüm için olasılık tanımını yaz.
FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y).
Birikimli dağılım fonksiyonu (CDF), değişkenin belirli bir değerden küçük veya eşit olma olasılığıdır.
3
X2≤yX^2 \leq y eşitsizliğini XX cinsinden çöz.
−y≤X≤y-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}.
Kareli bir ifade bir sayıdan küçükse, ifadenin kendisi o sayının negatif ve pozitif kökleri arasındadır.
4
XX için belirlenen aralıkta integral alarak olasılığı hesapla.
FY(y)=∫−yy12dx=[x2]−yy=y2−(−y2)=yF_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{2} dx = [\frac{x}{2}]_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{y}}{2} - (-\frac{\sqrt{y}}{2}) = \sqrt{y}.
Belirlenen sınırlar XX'in tanım aralığı olan (−1,1)(-1, 1) içerisinde kaldığından doğrudan integral uygulanır.

Anahtar Kavram

Dağılım Fonksiyonu Yöntemi (CDF Method)
Bu soruyu puanla

Konular

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi