Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKaresel Formlar ve Dağılımları

Bir endüstri mühendisi, üretilen sensörlerin pp farklı hassasiyet ölçümünü p×1p \times 1 boyutlu X\mathbf{X} rastgele vektörü ile modellemektedir. Bu vektörün X∼Np(μ,Σ)\mathbf{X} \sim N_p(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) dağılışına sahip olduğu (burada Σ\boldsymbol{\Sigma} pozitif tanımlıdır) bilinmektedir. Mühendis, sensörlerin kalibrasyon hatalarını özetlemek için A\mathbf{A} simetrik bir matris olmak üzere, Q=(X−μ)′A(X−μ)Q = (\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})'\mathbf{A}(\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu}) şeklinde bir karesel form tanımlamıştır.

Bu QQ karesel formunun kk serbestlik dereceli merkezi ki-kare (χk2\chi^2_k) dağılımına sahip olması için gerek ve yeter şart aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

  1. A
    AΣ\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma} çarpım matrisinin idempotent olması ve determinantının kk değerine eşit olması
  2. B
    A\mathbf{A} ve Σ\boldsymbol{\Sigma} matrislerinin çarpma işleminde değişmeli (AΣ=ΣA\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma} = \boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}) olması ve rank(A)=k\text{rank}(\mathbf{A}) = k olması
  3. AΣ\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma} çarpım matrisinin idempotent olması ve iz(AΣ)=k\text{iz}(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}) = k olmasıCevap
  4. D
    X\mathbf{X} vektörünün bileşenlerinin marjinal olarak standart normal dağılıma sahip olması ve iz(A)=k\text{iz}(\mathbf{A}) = k olması
  5. E
    Sadece A\mathbf{A} matrisinin varyans-kovaryans matrisinin tersine (Σ−1\boldsymbol{\Sigma}^{-1}) eşit olması ve p=kp = k olması

Cevap

Doğru yanıt, karesel formun ki-kare dağılımına sahip olmasının katsayılar matrisi ile varyans-kovaryans matrisinin çarpımının idempotent olmasını ve izinin serbestlik derecesine eşitliğini belirten seçenektir.
Çok değişkenli istatistikteki temel teoremlere (örneğin Craig Teoremi) göre, X∼Np(μ,Σ)\mathbf{X} \sim N_p(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) iken (X−μ)′A(X−μ)(\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})'\mathbf{A}(\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu}) karesel formunun ki-kare dağılımına uyması için gerek ve yeter şart, katsayılar matrisi A\mathbf{A} ile varyans-kovaryans matrisi Σ\boldsymbol{\Sigma}'nın çarpımının (yani AΣ\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}) idempotent bir matris olmasıdır. Ayrıca ki-kare dağılımının serbestlik derecesi, bu matrisin rankına eşittir. İdempotent matrislerin rankı her zaman kendi izine (köşegen elemanlarının toplamına) eşit olduğundan, serbestlik derecesi k=iz(AΣ)k = \text{iz}(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}) koşulu ile kesin olarak belirlenir.

Adım Adım Çözüm

1
Karesel formun dağılım özelliklerini tanımlama
Çok değişkenli normal dağılıma sahip X\mathbf{X} vektörü için Q=(X−μ)′A(X−μ)Q = (\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})'\mathbf{A}(\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu}) karesel formunun dağılımı incelenir.
Soru, belirli bir karesel formun ki-kare dağılımına sahip olma koşulunu araştırmamızı istemektedir.
2
Ki-kare dağılımı için gerekli temel şartı belirleme
İlgili istatistiksel teoremlere göre, bu formun ki-kare dağılması için AΣ\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma} çarpım matrisinin idempotent (yani (AΣ)2=AΣ(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma})^2 = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}) olması zorunludur.
Karesel formların ortogonal dönüşümler altında standart normal değişkenlerin kareleri toplamına dönüştürülebilmesi, ancak dönüşüm matrisinin idempotent yapıda olmasıyla mümkündür.
3
Serbestlik derecesini hesaplama kuralını uygulama
Ki-kare dağılımının serbestlik derecesi (kk), idempotent olan AΣ\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma} matrisinin rankına eşittir. İdempotent matrislerde rank, matrisin köşegen elemanları toplamına (trace / iz) eşit olduğundan k=iz(AΣ)k = \text{iz}(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}) olarak bulunur.
İdempotent matrislerin özdeğerleri yalnızca 0 ve 1'dir. Sıfırdan farklı özdeğerlerin sayısı rankı verir, bu da özdeğerlerin toplamına (iz değerine) denktir.

Anahtar Kavram

Karesel Formların Ki-Kare Dağılımına Uygunluğu ve İdempotent Matrisler
Bu soruyu puanla

Konular

Karesel Formlar ve Dağılımları

Bu konudan daha fazla soru