Çok değişkenli istatistiksel analizler yürüten bir araştırmacı, p boyutlu ve \boldsymbol{\… — KPSS İstatistik

Çok değişkenli istatistiksel analizler yürüten bir araştırmacı, $p$ boyutlu ve $\boldsymbol{\mu} = \mathbf{0}$ ortalama vektörüne, $\boldsymbol{\Sigma}$ pozitif tanımlı varyans-kovaryans matrisine sahip $\mathbf{X}$ rastgele vektörünü incelemektedir.

Araştırmacı, verinin yapısını analiz etmek amacıyla $\mathbf{A}$ ve $\mathbf{B}$ simetrik matrislerini kullanarak $Q_1 = \mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X}$ ve $Q_2 = \mathbf{X}'\mathbf{B}\mathbf{X}$ karesel formlarını oluşturmuştur.

Çalışmanın kuramsal altyapısı gereği, $Q_1$ istatistiğinin $k$ serbestlik dereceli ki-kare dağılımına ( $\chi^2_k$ ) uyması ve aynı zamanda $Q_2$ istatistiğinden istatistiksel olarak bağımsız olması hedeflenmektedir.

Buna göre, araştırmacının kurguladığı modelde $\mathbf{A}$ ve $\mathbf{B}$ matrislerinin aşağıdaki eşitlik sistemlerinden hangisini sağlaması istatistiksel olarak zorunludur?

$\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A} = \mathbf{A}$ , $\text{iz}(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}) = k$ ve $\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{B} = \mathbf{0}$ Cevap
B
$\mathbf{A}^2 = \mathbf{A}$ , $\text{iz}(\mathbf{A}) = k$ ve $\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{0}$
C
$\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A} = \mathbf{A}$ , $|\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}| = k$ ve $\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{B} = \mathbf{0}$
D
$\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A} = \mathbf{A}$ , $\text{iz}(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}) = k$ ve $\mathbf{A}\mathbf{B}\boldsymbol{\Sigma} = \mathbf{0}$
E
$\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A} = \mathbf{I}$ , $\text{iz}(\mathbf{A}) = k$ ve $\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{B} = \mathbf{I}$

Cevap

Doğru eşitlik sistemi; karesel formun ki-kare dağılımı için

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A} = \mathbf{A}

ile

\text{iz}(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}) = k

şartlarını ve bağımsızlık için

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{B} = \mathbf{0}

şartını birlikte içeren sistemdir.

Verilen modelde

\mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X}

karesel formunun

\chi^2_k

dağılımına sahip olması için

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}

matrisinin idempotent (

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A} = \mathbf{A}

) ve serbestlik derecesinin matrisin izi üzerinden

\text{iz}(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}) = k

olması zorunludur. Ayrıca

\mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X}

\mathbf{X}'\mathbf{B}\mathbf{X}

karesel formlarının istatistiksel bağımsızlığı için Craig Teoremi gereği aralarındaki ilişkinin

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{B} = \mathbf{0}

şartını sağlaması gerekir.

Adım Adım Çözüm

Karesel formun ki-kare dağılımına uyma şartını belirleme

\mathbf{X} \sim N_p(\mathbf{0}, \boldsymbol{\Sigma})

iken

\mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X} \sim \chi^2

olması için

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}

matrisi idempotent olmalıdır. Bu, matematiksel olarak

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma} = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}

demektir.

\boldsymbol{\Sigma}

pozitif tanımlı olduğundan eşitlik

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A} = \mathbf{A}

formuna dönüşür.

Genel normal dağılımda karesel form matrisi ile varyans-kovaryans matrisinin çarpımı idempotent bir yapı sergilemelidir.

Ki-kare dağılımının serbestlik derecesini tespit etme

İlgili ki-kare dağılımının serbestlik derecesi, idempotent olan

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}

matrisinin rankına eşittir. İdempotent matrislerde rank, matrisin izine (trace) eşit olduğundan

k = \text{iz}(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma})

olur.

İdempotent matrislerin en önemli özelliklerinden biri rank ve iz değerlerinin birbirine eşit olmasıdır.

İki karesel formun istatistiksel bağımsızlık şartını kurma

Craig Teoremi uyarınca,

\mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X}

\mathbf{X}'\mathbf{B}\mathbf{X}

formlarının birbirinden istatistiksel olarak bağımsız olabilmesi için

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{B} = \mathbf{0}

eşitliğinin sağlanması gerekir.

Normal dağılım altında karesel formların bağımsızlığı, matrisler arasına giren kovaryans yapısının çarpım sonucunu sıfırlamasına dayanır.

Anahtar Kavram

Craig Teoremi ve Karesel Formların Dağılımı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru