\mathbf{X}, 3 \times 1 boyutlu, ortalama vektörü \boldsymbol{\mu} = \mathbf{0} ve varyans-… — KPSS İstatistik

$\mathbf{X}$ , $3 \times 1$ boyutlu, ortalama vektörü $\boldsymbol{\mu} = \mathbf{0}$ ve varyans-kovaryans matrisi $\mathbf{\Sigma} = 4\mathbf{I}_3$ (burada $\mathbf{I}_3$ , birim matristir) olan çok değişkenli normal dağılıma sahip bir rasgele vektördür.

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1/4 & 0 & 0 \\ 0 & 1/4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

ve $\mathbf{B}$ , $3 \times 3$ boyutlu simetrik bir matris olmak üzere, $Q_1 = \mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X}$ ve $Q_2 = \mathbf{X}'\mathbf{B}\mathbf{X}$ karesel formları tanımlanmaktadır.

Buna göre, $Q_1$ karesel formunun dağılımı ile $Q_1$ ve $Q_2$ karesel formlarının istatistiksel olarak birbirinden bağımsız olması için $\mathbf{B}$ matrisinin sağlaması gereken koşul, aşağıdakilerin hangisinde birlikte doğru verilmiştir?

$2$ serbestlik dereceli ki-kare dağılımı; $\mathbf{AB} = \mathbf{0}$ Cevap
B
$1/2$ serbestlik dereceli ki-kare dağılımı; $\mathbf{AB} = \mathbf{0}$
C
$2$ serbestlik dereceli ki-kare dağılımı; $\mathbf{AB} = \mathbf{I}_3$
D
$3$ serbestlik dereceli ki-kare dağılımı; $\mathbf{AB} = \mathbf{0}$
E
$3$ serbestlik dereceli ki-kare dağılımı; $\mathbf{AB} = \mathbf{I}_3$

Cevap

Karesel formun dağılımı 2 serbestlik dereceli ki-kare dağılımıdır ve bağımsızlık koşulu AB = 0 olmalıdır.

\mathbf{X} \sim N_p(\mathbf{0}, \mathbf{\Sigma})

olduğunda

\mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X}

karesel formunun ki-kare dağılımına uyması için

\mathbf{A}\mathbf{\Sigma}

matrisi idempotent olmalıdır. Verilen

\mathbf{A}

\mathbf{\Sigma} = 4\mathbf{I}_3

değerleri ile

\mathbf{A}\mathbf{\Sigma} = \text{diag}(1, 1, 0)

elde edilir ve bu matris idempotenttir. Serbestlik derecesi, idempotent matrisin izine eşittir:

\text{iz}(\mathbf{A}\mathbf{\Sigma}) = 1+1+0 = 2

. Ayrıca,

\mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X}

\mathbf{X}'\mathbf{B}\mathbf{X}

karesel formlarının bağımsızlığı için Craig Teoremi gereğince

\mathbf{A}\mathbf{\Sigma}\mathbf{B} = \mathbf{0}

şartı sağlanmalıdır.

\mathbf{\Sigma} = 4\mathbf{I}_3

olduğundan bu koşul doğrudan

4\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{0} \implies \mathbf{AB} = \mathbf{0}

şeklinde sadeleşir.

Adım Adım Çözüm

Q_1

karesel formunun dağılımını belirlemek için

\mathbf{A}\mathbf{\Sigma}

çarpım matrisi ve idempotens (eşgüçlülük) özelliği kontrol edilir.

\mathbf{A}\mathbf{\Sigma} = \mathbf{A}(4\mathbf{I}_3) = 4\mathbf{A}

işlemi sonucunda köşegen elemanları sırasıyla 1, 1, 0 olan köşegen matris elde edilir. Bu matrisin karesi kendisine eşit olduğundan idempotenttir.

Çok değişkenli normal dağılımda karesel formun ki-kare dağılması için

\mathbf{A}\mathbf{\Sigma}

matrisinin idempotent olması şarttır.

Ki-kare dağılımının serbestlik derecesi (

v

) hesaplanır.

v = \text{iz}(\mathbf{A}\mathbf{\Sigma}) = 1 + 1 + 0 = 2

bulunur.

\boldsymbol{\mu} = \mathbf{0}

olduğu için dağılım merkezi ki-karedir.

İdempotent matrislerde iz değeri, rank değerine ve dolayısıyla ki-kare dağılımının serbestlik derecesine eşittir.

Q_1

Q_2

karesel formlarının bağımsızlık koşulu formüle edilir.

Bağımsızlık için

\mathbf{A}\mathbf{\Sigma}\mathbf{B} = \mathbf{0}

olmalıdır.

\mathbf{\Sigma} = 4\mathbf{I}_3

yerine yazıldığında

4\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{0}

ve her iki taraf

4

'e bölündüğünde

\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{0}

elde edilir.

Aynı rasgele vektörden üretilen iki karesel formun bağımsız olması, ortadaki varyans-kovaryans matrisi kullanıldığında çarpımlarının sıfır matrisine eşit olmasına bağlıdır.

Anahtar Kavram

Karesel Formların Dağılımı ve Bağımsızlık Teoremi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru