Bir finansal risk analisti, bir yatırım portföyündeki p adet varlığın getirilerini modelle… — KPSS İstatistik

Bir finansal risk analisti, bir yatırım portföyündeki $p$ adet varlığın getirilerini modellemek için ortalama vektörü $\boldsymbol{\mu} = \mathbf{0}$ ve pozitif tanımlı varyans-kovaryans matrisi $\boldsymbol{\Sigma}$ olan çok değişkenli normal dağılım kullanmaktadır. Analist, portföyün toplam riskini değerlendirmek amacıyla $\mathbf{X}$ getiri vektörü ve simetrik bir $\mathbf{A}$ ağırlık matrisi kullanarak $R = \mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X}$ şeklinde bir risk endeksi tanımlamıştır. Bu endeksin istatistiksel geçerlilik testlerinde kullanılabilmesi için standart bir ki-kare ( $\chi^2$ ) dağılımına uyması gerekmektedir.

Buna göre, $R$ risk endeksinin $k$ serbestlik dereceli ki-kare dağılımına ( $\chi^2_k$ ) sahip olabilmesi için sağlanması gereken koşul ve $k$ değerinin hesaplanma biçimi aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

$\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}$ çarpım matrisinin idempotent olması gerekir ve serbestlik derecesi $k = iz(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma})$ olarak hesaplanır.Cevap
B
Sadece $\mathbf{A}$ matrisinin idempotent olması yeterlidir ve serbestlik derecesi $k = iz(\mathbf{A})$ olarak hesaplanır.
C
$\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}$ matrisinin idempotent olması şarttır ve serbestlik derecesi $k = |\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}|$ (determinantı) olarak alınır.
D
$\mathbf{A}$ ve $\boldsymbol{\Sigma}$ matrislerinin çarpıma göre değişmeli ( $\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma} = \boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}$ ) olması şarttır ve serbestlik derecesi $k = iz(\mathbf{A}) \times iz(\boldsymbol{\Sigma})$ olarak hesaplanır.
E
$\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}$ çarpım matrisinin simetrik olması yeterlidir ve serbestlik derecesi $k = iz(\mathbf{A}) + iz(\boldsymbol{\Sigma})$ olarak hesaplanır.

Cevap

R risk endeksinin ki-kare dağılımına uyması için

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}

matrisinin idempotent olması gerekir ve serbestlik derecesi

k = iz(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma})

ile hesaplanır.

Genel karesel form teoremlerine göre, ortalaması sıfır olan bir normal dağılımdan gelen

\mathbf{X}

vektörü için

\mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X}

ifadesinin ki-kare dağılımına uyması için gerekli ve yeterli koşul

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}

çarpım matrisinin idempotent olmasıdır. Ki-kare dağılımının serbestlik derecesi ise, bu matrisin rankına denk gelen izine (

iz(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma})

) eşittir.

Adım Adım Çözüm

Karesel formun ki-kare dağılımına uyma koşulunun belirlenmesi.

Teoreme göre,

\mathbf{X} \sim N_p(\mathbf{0}, \boldsymbol{\Sigma})

iken

\mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X} \sim \chi^2

olması için

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}

matrisinin idempotent, yani

(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma})^2 = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}

olması gerekir.

Karesel formların standart dağılımlara dönüştürülmesinde varyans-kovaryans yapısının ağırlık matrisi ile etkileşimi, değişkenlerin varyansını dengelemek için bu kuralı gerektirir.

Serbestlik derecesinin (k) hesaplanması.

İdempotent bir matrisin rankı izine eşit olduğundan, serbestlik derecesi

k = rank(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}) = iz(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma})

olarak bulunur.

Ki-kare dağılımında serbestlik derecesi, bağımsız standart normal değişkenlerin karesel toplamı sayısını ifade eder ve bu geometrik olarak idempotent matrisin iziyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Karesel formların ki-kare dağılımı (Teorem ve İdempotentlik)

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru