Examkin

Soru

Zorluk: OrtaHata Kareler Ortalaması (MSE)

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bağımsız ve aynı dağılımlı, başarı olasılığı pp olan Bernoulli dağılımından çekilmiş bir rastgele örneklem olsun. pp parametresini tahmin etmek amacıyla, örneklem değerlerinin toplamı Y=∑i=1nXiY = \sum_{i=1}^n X_i olmak üzere p^=Yn+1\hat{p} = \frac{Y}{n+1} tahmin edicisi öneriliyor.

Buna göre, p^\hat{p} tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. np(1−p)+p2(n+1)2\frac{np(1-p) + p^2}{(n+1)^2}Cevap
  2. B
    np(1−p)(n+1)2\frac{np(1-p)}{(n+1)^2}
  3. C
    p2(n+1)2\frac{p^2}{(n+1)^2}
  4. D
    p(1−p)n+p2(n+1)2\frac{p(1-p)}{n} + \frac{p^2}{(n+1)^2}
  5. E
    np(1−p)−p2(n+1)2\frac{np(1-p) - p^2}{(n+1)^2}

Cevap

Tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması, varyansı ile yan miktarının karesinin toplamı olan np(1−p)+p2(n+1)2\frac{np(1-p) + p^2}{(n+1)^2} ifadesidir.
MSE hesaplaması için tahmin edicinin varyansı ve yan miktarının bilinmesi gerekir. Y∼Binom(n,p)Y \sim Binom(n, p) olduğundan, E(Y)=npE(Y)=np ve Var(Y)=np(1−p)Var(Y)=np(1-p)'dir. Tahmin edici p^=Yn+1\hat{p} = \frac{Y}{n+1} olduğu için, beklenen değeri E(p^)=npn+1E(\hat{p}) = \frac{np}{n+1} olur. Yan miktarı (Bias) =npn+1−p=−pn+1= \frac{np}{n+1} - p = \frac{-p}{n+1} olarak bulunur. Tahmin edicinin varyansı ise Var(p^)=np(1−p)(n+1)2Var(\hat{p}) = \frac{np(1-p)}{(n+1)^2} şeklindedir. MSE = Varyans + (Yan)2^2 formülü uygulandığında, np(1−p)(n+1)2+(−pn+1)2=np(1−p)+p2(n+1)2\frac{np(1-p)}{(n+1)^2} + \left(\frac{-p}{n+1}\right)^2 = \frac{np(1-p) + p^2}{(n+1)^2} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin beklenen değerini hesapla.
E(p^)=E(Yn+1)=E(Y)n+1=npn+1E(\hat{p}) = E\left(\frac{Y}{n+1}\right) = \frac{E(Y)}{n+1} = \frac{np}{n+1}
Yan miktarını (bias) bulabilmek için öncelikle tahmin edicinin beklenen değerini bulmalıyız. YY, nn adet Bernoulli değişkeninin toplamı olduğundan Binom(n,p)Binom(n, p) dağılır ve E(Y)=npE(Y) = np'dir.
2
Tahmin edicinin yan miktarını (Bias) hesapla.
Yan(p^)=E(p^)−p=npn+1−p=np−(np+p)n+1=−pn+1Yan(\hat{p}) = E(\hat{p}) - p = \frac{np}{n+1} - p = \frac{np - (np+p)}{n+1} = \frac{-p}{n+1}
Yan miktarı, tahmin edicinin beklenen değeri ile tahmin edilmek istenen gerçek parametre (pp) arasındaki farktır.
3
Tahmin edicinin varyansını hesapla.
Var(p^)=Var(Yn+1)=1(n+1)2Var(Y)=np(1−p)(n+1)2Var(\hat{p}) = Var\left(\frac{Y}{n+1}\right) = \frac{1}{(n+1)^2} Var(Y) = \frac{np(1-p)}{(n+1)^2}
MSE formülünün ikinci bileşeni varyanstır. Sabit bir sayının varyansı dışarı karesi alınarak çıkar ve Binom(n,p)Binom(n, p) için Var(Y)=np(1−p)Var(Y) = np(1-p)'dir.
4
Hata Kareler Ortalaması (MSE) formülünü uygula.
MSE(p^)=Var(p^)+[Yan(p^)]2=np(1−p)(n+1)2+(−pn+1)2=np(1−p)+p2(n+1)2MSE(\hat{p}) = Var(\hat{p}) + [Yan(\hat{p})]^2 = \frac{np(1-p)}{(n+1)^2} + \left(\frac{-p}{n+1}\right)^2 = \frac{np(1-p) + p^2}{(n+1)^2}
MSE, her zaman tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE), yanlı bir tahmin edici için MSE(θ^)=Var(θ^)+[Bias(θ^)]2MSE(\hat{\theta}) = Var(\hat{\theta}) + [Bias(\hat{\theta})]^2 eşitliği kullanılarak bulunur.
Bu soruyu puanla

Konular

Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Bu konudan daha fazla soru