Bir belediye, bünyesindeki N = 200 halk kütüphanesinin güncel toplam kitap sayısını tahmin… — KPSS İstatistik

Bir belediye, bünyesindeki $N = 200$ halk kütüphanesinin güncel toplam kitap sayısını tahmin etmek amacıyla bir araştırma yürütmektedir. 5 yıl önceki kayıtlardan, kütüphanelerin o tarihteki toplam kitap sayısının $\tau_X = 80.000$ olduğu bilinmektedir. Basit rastgele örnekleme ile seçilen $n = 40$ kütüphaneden elde edilen veriler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

Değişken	Örneklem Toplamı ( $n=40$ )
Güncel Kitap Sayısı ( $Y$ )	$18.000$
5 Yıl Önceki Kitap Sayısı ( $X$ )	$15.000$

Bu bilgilere göre, oran tahminleyicisi kullanılarak kütüphanelerdeki güncel toplam kitap sayısı tahmini kaçtır?

96.000Cevap
B
90.000
C
66.667
D
18.000
E
480

Cevap

Oran tahminleyicisi kullanılarak hesaplanan güncel toplam kitap sayısı tahmini 96.000'dir.

Oran tahminleyicisi formülü

\hat{\tau}_{yr} = (\bar{y}/\bar{x}) \cdot \tau_X

şeklindedir. Örneklem toplamları kullanılarak oran

18.000/15.000 = 1,2

bulunur. Bu oran, kitle toplamı olan

80.000

ile çarpıldığında

96.000

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Örneklem verilerini kullanarak tahmini kitle oranını (

\hat{R}

) hesaplayın.

\hat{R} = \frac{\sum y_i}{\sum x_i} = \frac{18.000}{15.000} = 1,2

Oran tahminleyicisi, iki değişken arasındaki ilişkiyi temsil eden bu katsayı üzerine kuruludur.

Hesaplanan oranı kitledeki bilinen toplam yardımcı değişken değeriyle (

\tau_X

) çarpın.

\hat{\tau}_{yr} = \hat{R} \times \tau_X = 1,2 \times 80.000 = 96.000

Kitle toplamı tahmini, birim başına düşen oranın toplam hacimle genişletilmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Oran tahminleyicisi, ilgilenilen değişken ile yardımcı değişken arasındaki doğrusal ve orijinden geçen güçlü ilişkiyi kullanarak daha etkin tahminler yapmayı sağlar.

İpuçları

Öncelikle örneklemdeki güncel kitap sayısının, eski kitap sayısına oranını bulun.

Bulduğunuz bu oranı (

\hat{R}

), kitledeki toplam eski kitap sayısı (

\tau_X

) ile çarparak güncel toplamı tahmin edebilirsiniz.

Hesaplama:

(18.000 / 15.000) \times 80.000

işlemini yapmalısınız.

Daha Fazla Pratik

Oran tahminleyicisinin varyansını hesaplayarak, basit rastgele örnekleme tahminine göre ne kadar daha etkin olduğunu inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Önce oran tahminleyicisi ile kitle ortalamasını (

\hat{\mu}_{yr}

) hesaplayıp, ardından bu değeri kitle büyüklüğü (

N

) ile çarparak da toplama ulaşabilirsiniz:

\hat{\mu}_{yr} = 1,2 \times (80.000 / 200) = 480

480 \times 200 = 96.000

Tahmini Süre:1m 30s

Soru