Ulaştırma ve Altyapı Bakanlığı'na bağlı TCDD Taşımacılık A.Ş. tarafından işletilen Yüksek … — KPSS İstatistik

Ulaştırma ve Altyapı Bakanlığı'na bağlı TCDD Taşımacılık A.Ş. tarafından işletilen Yüksek Hızlı Tren (YHT) hatlarında yapılan rutin kontrollerde, sinyalizasyon sisteminde meydana gelen anlık arıza sayısının Poisson dağılımına uyduğu tespit edilmiştir. Geçmiş verilere göre, her $40$ kilometrelik hat kesiminde ortalama $1$ adet anlık sinyalizasyon arızası kaydedilmektedir.

Buna göre, rastgele seçilen $120$ kilometrelik bir hat kesiminde meydana gelecek arıza sayısının varyans değeri ( $v$ ) ile bu hatta tam olarak varyans değerine eşit sayıda arıza gözlemlenme olasılığı ( $P$ ) aşağıdakilerin hangisinde birlikte doğru verilmiştir?

A
$v = 1, \quad P = e^{-1}$
B
$v = 3, \quad P = \frac{1}{6} e^{-1}$
$v = 3, \quad P = \frac{9}{2} e^{-3}$ Cevap
D
$v = 3, \quad P = 27 e^{-3}$
E
$v = 9, \quad P = \frac{9}{2} e^{-3}$

Cevap

120 km'lik hat için varyans 3'tür ve tam olarak 3 arıza gözlemlenme olasılığı

9/2 e^{-3}

değerine eşittir.

Soru, Poisson dağılımının iki temel özelliğini ölçmektedir: Parametrenin aralık uzunluğuna göre ölçeklenebilmesi ve varyansın ortalamaya eşit olması.

40

km'de ortalama

1

arıza oluyorsa,

120

km'de beklenen arıza sayısı

\lambda = 3

'tür. Poisson dağılımında varyans

\lambda

'ya eşit olduğundan

v = 3

olur. Bizden istenen olasılık

P(X = 3)

'tür. Formülde yerine konulduğunda

P(X = 3) = \frac{e^{-3} \cdot 3^3}{3!} = \frac{27}{6} e^{-3} = \frac{9}{2} e^{-3}

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

İstenen mesafe için yeni Poisson parametresinin (

\lambda

) hesaplanması.

120 \text{ km} / 40 \text{ km} = 3 \implies \lambda = 3 \times 1 = 3

Poisson dağılımında ortalama değer (beklenen değer) incelenen aralığın uzunluğu ile orantılı olarak ölçeklenmelidir.

120

kilometrelik hat için varyans değerinin (

v

) bulunması.

Poisson dağılımında varyans, beklenen değere eşittir. Dolayısıyla

v = \lambda = 3

Soru bizden

120

km'lik hat için varyans değerini istemektedir ve Poisson dağılımının temel bir özelliği

E(X) = Var(X) = \lambda

olmasıdır.

Tam olarak varyans değerine eşit sayıda (

x = 3

) arıza gözlemlenme olasılığının (

P

) hesaplanması.

P(X = 3) = \frac{e^{-3} \cdot 3^3}{3!} = \frac{27 e^{-3}}{6} = \frac{9}{2} e^{-3}

Poisson olasılık kütle fonksiyonu formülü

P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}

kullanılarak

x = 3

için hesaplama yapılır.

Anahtar Kavram

Poisson Dağılımının Özellikleri ve Ölçeklenmesi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru