Examkin

Soru

Zorluk: ZorKanonik Değişkenler ve Kanonik Korelasyon Katsayısı

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) verilerini kullanan bir uzman, hanehalkı refah düzeyini incelemek amacıyla Kanonik Korelasyon Analizi uygulamaktadır. Uzman, XX değişken setinde p=5p=5 adet sosyo-demografik değişken (hane büyüklüğü, eğitim süresi vb.) ve YY değişken setinde q=2q=2 adet ekonomik gösterge (aylık harcama ve tasarruf miktarı) tanımlamıştır.

Yapılan analiz sonucunda, ΣXX−1ΣXYΣYY−1ΣYX\Sigma_{XX}^{-1} \Sigma_{XY} \Sigma_{YY}^{-1} \Sigma_{YX} matrisinin sıfırdan farklı özdeğerleri sırasıyla λ1=0.81\lambda_1 = 0.81 ve λ2=0.25\lambda_2 = 0.25 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, analiz sonucunda elde edilen birinci (U1,V1)(U_1, V_1) ve ikinci (U2,V2)(U_2, V_2) kanonik değişken çiftlerinin istatistiksel özellikleri dikkate alındığında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Birinci kanonik korelasyon katsayısının karesi olan 0.810.81 değeri, sosyo-demografik değişkenlerin ekonomik göstergeler veri setindeki açıklanan toplam varyans oranını (fazlalık indeksini) ifade eder.
  2. B
    Kanonik değişken skorlarının hesaplanmasında kullanılan kanonik ağırlıklar, ilgili veri setindeki orijinal değişkenler ile türetilen kanonik değişkenler arasındaki doğrudan korelasyon katsayılarıdır.
  3. U1U_1 ile V1V_1 arasındaki kanonik korelasyon katsayısı 0.900.90'dır ve farklı sıralı kanonik değişkenler (U1U_1 ile V2V_2) istatistiksel olarak birbiriyle ilişkisizdir (ortogonaldir).Cevap
  4. D
    Türetilen kanonik değişkenlerin varyansları ait oldukları çiftin özdeğerlerine eşit olduğundan, U1U_1 kanonik değişkeninin varyansı 0.810.81'dir.
  5. E
    Oluşturulan matrisin izi (trace), λ1×λ2\lambda_1 \times \lambda_2 işlemine eşittir ve XX ile YY setleri arasındaki toplam açıklanan varyansı verir.

Cevap

U1U_1 ile V1V_1 arasındaki kanonik korelasyon katsayısı 0.90'dır ve U1 ile V2 birbirinden bağımsızdır (ortogonaldir).
Doğru seçenekte verilen ifade iki temel teorik gerçeği yansıtır: 1) ii. kanonik korelasyon katsayısı, ii. özdeğerin kareköküne eşittir (ρ1=0.81=0.90\rho_1 = \sqrt{0.81} = 0.90). 2) Analiz, türetilen yeni değişkenlerin (Ui,VjU_i, V_j) farklı çiftler arasında tamamen ortogonal (korelasyonsuz) olmasını garanti edecek şekilde kurgulanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kanonik korelasyon katsayısını hesaplama
ρ1=λ1=0.81=0.90\rho_1 = \sqrt{\lambda_1} = \sqrt{0.81} = 0.90 olarak bulunur.
Kanonik korelasyon katsayısının karesi, ilgili matrisin özdeğerine eşittir.
2
Kanonik değişkenlerin özelliklerini değerlendirme
U1U_1 ile V2V_2 arasındaki korelasyonun 00 olduğu (ortogonallik) tespit edilir.
Kanonik Korelasyon Analizi varsayımlarına göre, farklı numaralı kanonik çiftlerin (örneğin i≠ji \neq j için UiU_i ile VjV_j) arasındaki korelasyon tamamen sıfırdır.
3
Varyans ve kanonik ağırlık/yük kavramlarını kontrol etme
Tüm UU ve VV değişkenlerinin varyansının 11 olduğu ve ağırlıkların korelasyon (yük) olmadığı doğrulanır.
Kavramsal çeldiricileri elemek için temel teorik tanımların (standartlaştırma, fazlalık indeksi, yük vs.) bilinmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Kanonik değişkenlerin özellikleri, özdeğer-korelasyon ilişkisi ve ortogonallik
Bu soruyu puanla

Konular

Kanonik Değişkenler ve Kanonik Korelasyon Katsayısı

Bu konudan daha fazla soru