Bir araştırmada incelenen X ve Y kesikli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir: | X \setminus Y | -1 | 0 | 1 | |---|---|---|---| | **-1** | 1/8 | 0 | 1/8 | | **0** | 0 | 1/2 | 0 | | **1** | 1/8 | 0 | 1/8 | Bu olasılık dağılımına göre, X ve Y rastgele değişk

Kovaryansları sıfır olmasına rağmen, $X$ ve $Y$ değişkenleri bağımlıdır.

Bir araştırmada incelenen X ve Y kesikli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık fonksiyon… — KPSS İstatistik

Bir araştırmada incelenen $X$ ve $Y$ kesikli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$X \setminus Y$	$-1$	$0$	$1$
$-1$	$1/8$	$0$	$1/8$
$0$	$0$	$1/2$	$0$
$1$	$1/8$	$0$	$1/8$

Bu olasılık dağılımına göre, $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri arasındaki ilişkiyle ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A
Kovaryansları sıfır olduğu için $X$ ve $Y$ değişkenleri birbirinden kesinlikle bağımsızdır.
B
Değişkenler bağımlı olduğu için $E[XY] \neq E[X]E[Y]$ eşitsizliği geçerlidir.
Kovaryansları sıfır olmasına rağmen, $X$ ve $Y$ değişkenleri bağımlıdır.Cevap
D
$X$ ve $Y$ bağımlı değişkenler olduğundan $Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)$ eşitliği sağlanmaz.
E
$X$ ve $Y$ 'nin marjinal olasılıkları toplamı $1$ olduğu için aralarındaki kovaryans pozitiftir.

Cevap

Kovaryansları sıfır olmasına rağmen,

X

Y

değişkenleri bağımlıdır.

Verilen ortak olasılık tablosunda

E[X] = 0

E[Y] = 0

E[XY] = 0

olduğu için

Cov(X,Y) = 0

olarak hesaplanır. Ancak

P(X=0, Y=0) = 1/2

olasılığı, marjinal olasılıkların çarpımı olan

P(X=0) \cdot P(Y=0) = 1/4

'e eşit değildir. Bu durum, aralarında doğrusal ilişki (kovaryans) olmamasına rağmen değişkenlerin birbirine bağımlı olduğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

X

Y

'nin marjinal olasılık dağılımlarını ve beklenen değerlerini bulmak.

P(X=-1) = 1/4

P(X=0) = 1/2

P(X=1) = 1/4

olarak hesaplanır. Buradan

E[X] = (-1)(1/4) + (0)(1/2) + (1)(1/4) = 0

bulunur. Simetriden dolayı

E[Y] = 0

'dır.

Kovaryans formülünde kullanılacak olan bireysel beklenen değerlerin hesaplanması zorunludur.

Ortak beklenen değer olan

E[XY]

değerini hesaplamak.

E[XY] = (-1)(-1)(1/8) + (-1)(1)(1/8) + (1)(-1)(1/8) + (1)(1)(1/8) = 1/8 - 1/8 - 1/8 + 1/8 = 0

bulunur.

Kovaryans formülü

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

eşitliğine dayanır.

Kovaryansı hesaplamak.

Cov(X,Y) = 0 - (0)(0) = 0

elde edilir.

Kovaryans değeri iki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin varlığını kontrol etmemizi sağlar.

Değişkenlerin bağımsızlık koşulunu kontrol etmek.

Bağımsızlık için her

x,y

değeri için

P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)

olmalıdır. Ancak

P(X=0, Y=0) = 1/2

iken,

P(X=0)P(Y=0) = (1/2)(1/2) = 1/4

olur.

1/2 \neq 1/4

olduğundan değişkenler bağımlıdır.

Sıfır kovaryans bağımsızlığı garanti etmediği için olasılık çarpımları üzerinden kontrol yapılması gerekir.

Anahtar Kavram

İki rastgele değişken bağımsızsa kovaryansları her zaman sıfırdır; ancak kovaryansın sıfır olması bu değişkenlerin bağımsız olduğunu garanti etmez (sadece aralarında doğrusal bir ilişki olmadığını gösterir).

Alternatif Yöntem

Bağımsızlık testi için uç noktalardaki olasılıklara da bakılabilir. Örneğin;

P(X=1, Y=1) = 1/8

iken,

P(X=1)P(Y=1) = (1/4)(1/4) = 1/16

'dır. Eşitlik sağlanmadığı için değişkenler en başından bağımlı olarak nitelendirilebilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru