Examkin

Soru

Zorluk: KolayTahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bir belediyenin kurumsal iletişim merkezine gelen ardışık iki telefon araması arasındaki süre (dakika), θ\theta parametreli ve f(x;θ)=1θe−x/θ,x>0f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, x > 0 olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip üstel dağılıma uygundur. Rastgele seçilen nn birimlik bir örneklem X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olduğuna göre, θ\theta parametresi için Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ile elde edilen yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. ∑i=1nXi\sum_{i=1}^{n} X_iCevap
  2. B
    ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^{n} X_i^2
  3. C
    max⁡(X1,…,Xn)\max(X_1, \dots, X_n)
  4. D
    ∏i=1nXi\prod_{i=1}^{n} X_i
  5. E
    X1+XnX_1 + X_n

Cevap

Toplam gözlem değeri olan ∑i=1nXi\sum_{i=1}^{n} X_i istatistiğidir.
Üstel dağılımın olabilirlik fonksiyonu θ−nexp⁡(−1θ∑xi)\theta^{-n} \exp(-\frac{1}{\theta} \sum x_i) şeklindedir. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre bu ifade, θ\theta parametresine ve gözlemlerin toplamına bağlı bir gg fonksiyonu ile sadece gözlemlere bağlı (burada 1 olan) bir hh fonksiyonunun çarpımıdır. Dolayısıyla gözlemlerin toplamı, θ\theta için yeterli bir istatistiktir.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik fonksiyonunu (Likelihood function) yazın.
L(θ;x)=∏i=1n1θe−xi/θ=θ−ne−1θ∑i=1nxiL(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} e^{-x_i/\theta} = \theta^{-n} e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^{n} x_i}
Yeterli istatistiği bulmak için öncelikle tüm örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu olan olabilirlik fonksiyonu oluşturulmalıdır.
2
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulayın.
L(θ;x)=g(T(x),θ)⋅h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x}) formunda g(∑xi,θ)=θ−ne−1θ∑xig(\sum x_i, \theta) = \theta^{-n} e^{-\frac{1}{\theta} \sum x_i} ve h(x)=1h(\mathbf{x}) = 1 olarak belirlenir.
Teorem gereği olabilirlik fonksiyonu, parametre ve istatistiğe bağlı bir fonksiyon ile sadece gözlemlere bağlı bir fonksiyonun çarpımı şeklinde yazılmalıdır.
3
Yeterli istatistiği (T) tanımlayın.
T(X1,…,Xn)=∑i=1nXiT(X_1, \dots, X_n) = \sum_{i=1}^{n} X_i
Fonksiyonun parametreye bağımlı olan kısmında yer alan tek örneklem bileşeni toplam sembolü olduğu için bu ifade yeterli istatistiktir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi, bir istatistiğin parametre hakkında örneklemdeki tüm bilgiyi içerip içermediğini (yeterliliğini) belirlemek için olabilirlik fonksiyonunun çarpanlarına ayrılması yöntemidir.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bu konudan daha fazla soru