İleri düzey bir istatistiksel modelleme çalışmasında, pozitif değerler alan bir X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, \theta_1 -1 olmak üzere şu şekilde tanımlanmıştır: f(x; \theta_1, \theta_2) = \frac{1}{C(\theta_1, \theta_2)} \exp(\theta_1 x + \theta_2 \ln x) \quad

Modelin doğal (kanonik) parametreleri arasındaki kısıt nedeniyle parametre uzayı iki boyutlu bir açık küme içermez (eğrisel üstel aile); dolayısıyla yeterli olan $T$ istatistiği tam değildir ve Lehmann-Scheffe teoremiyle benzersiz bir UMVUE garanti edilemez.

İleri düzey bir istatistiksel modelleme çalışmasında, pozitif değerler alan bir X rassal d… — KPSS İstatistik

İleri düzey bir istatistiksel modelleme çalışmasında, pozitif değerler alan bir $X$ rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, $\theta_1 < 0$ ve $\theta_2 > -1$ olmak üzere şu şekilde tanımlanmıştır:

f(x; \theta_1, \theta_2) = \frac{1}{C(\theta_1, \theta_2)} \exp(\theta_1 x + \theta_2 \ln x) \quad (x > 0)

Bu dağılımdan $n$ birimlik bağımsız bir $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemi çekiliyor. Modelin temel yapısı gereği parametre uzayı $\Theta$ , yapısal bir kısıt nedeniyle $\Theta = \{(\theta_1, \theta_2) \in \mathbb{R}^2 : \theta_1 = -2\theta_2^2, \theta_2 > 0 \}$ olarak daraltılmıştır.

Verilen kısıt altında, doğal (kanonik) parametrelere karşılık gelen ortak yeterli istatistik $T = \left( \sum_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n \ln X_i \right)$ için tamlık (completeness) özelliği ve Lehmann-Scheffe teoreminin uygulanabilirliği bağlamında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Modelin doğal (kanonik) parametreleri arasındaki kısıt nedeniyle parametre uzayı iki boyutlu bir açık küme içermez (eğrisel üstel aile); dolayısıyla yeterli olan $T$ istatistiği tam değildir ve Lehmann-Scheffe teoremiyle benzersiz bir UMVUE garanti edilemez.Cevap
B
$T$ istatistiği Neyman çarpanlara ayırma teoremine göre ortak yeterli olduğundan, Lehmann-Scheffe teoremi doğrudan uygulanır ve $T$ 'nin her yansız fonksiyonu her zaman eşsiz bir UMVUE üretir.
C
Kısıtlı parametre uzayı altında olasılık yoğunluk fonksiyonu kısıtsız olarak çarpanlarına ayrılamayacağından, $T$ istatistiği yeterlilik özelliğini tamamen yitirir ve dolayısıyla tamlık incelemesi yapılamaz.
D
$T$ istatistiğinin yansızlık ve tutarlılık özellikleri bu kısıt altında kaybolduğu için istatistik tamlığını yitirir; ancak asimptotik olarak tutarlı bir tahmin edici her zaman UMVUE'ye yakınsar.
E
Üstel aile formundaki tüm dağılımlarda, doğal parametrelere karşılık gelen ortak yeterli istatistikler parametre uzayından bağımsız olarak daima tamdır ve benzersiz en iyi tahmin ediciler üretirler.

Cevap

Doğal parametre uzayının iki boyutlu bir açık küme içermemesi nedeniyle (eğrisel üstel aile) yeterli istatistiğin tamlığını yitirmesi ve Lehmann-Scheffe teoreminin uygulanamamasıdır.

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu iki parametreli bir üstel ailedir. İstatistikte önemli bir teorem olan Lehmann-Scheffe teoreminin temel şartı, yeterli istatistiğin aynı zamanda 'tam' (complete) olmasıdır. Üstel ailelerde tamlık özelliğinin sağlanması için doğal (kanonik) parametrelerin tanımladığı uzayın, parametre sayısına eşit boyutta bir açık küme (open set) içermesi gerekir. Verilen

\theta_1 = -2\theta_2^2

kısıtı, parametre uzayını

\mathbb{R}^2

içinde bir eğriye dönüştürür ve bu model 'eğrisel üstel aile' (curved exponential family) adını alır. Boyuta eşit açık küme şartı sağlanmadığından yeterli istatistik

T

tamlığını yitirir. Tamlık olmadığı için de Lehmann-Scheffe teoremi çalışmaz ve benzersiz bir UMVUE elde edileceği garanti edilemez.

Adım Adım Çözüm

Dağılımın üstel aile formunda yazılması ve doğal (kanonik) parametreler ile yeterli istatistiklerin belirlenmesi.

f(x) = h(x) c(\theta) \exp(\eta_1 T_1 + \eta_2 T_2)

formundadır. Burada doğal parametreler

\eta_1 = \theta_1

\eta_2 = \theta_2

ve yeterli istatistikler

T_1 = \sum X_i

T_2 = \sum \ln X_i

olarak bulunur.

Lehmann-Scheffe ve tamlık teoremlerinin uygulanabilmesi için öncelikle kitle dağılımının kanonik üstel aile yapısı incelenmelidir.

Parametre uzayı kısıtının tamlık teoremi (open set condition) açısından değerlendirilmesi.

\Theta = \{(\theta_1, \theta_2) : \theta_1 = -2\theta_2^2, \theta_2 > 0 \}

kümesi,

\mathbb{R}^2

'de 2 boyutlu bir açık küme (open set) içermez. Bu durum kitleyi 'eğrisel üstel aile' (curved exponential family) yapar.

Bir üstel ailede doğal yeterli istatistiğin tam (complete) olabilmesi için doğal parametre uzayının karşılık gelen boyutta bir açık küme içermesi zorunludur.

Lehmann-Scheffe teoremi ışığında UMVUE'nin eşsizliğinin (uniqueness) analiz edilmesi.

T

istatistiği tam olmadığından, sıfırın yansız tahmin edicileri eşsiz değildir. Dolayısıyla,

T

'ye bağlı yansız bir tahmin edici bulunsa bile, bunun benzersiz bir UMVUE olduğu garanti edilemez.

UMVUE'nin Lehmann-Scheffe teoremiyle kesin varlığı ve eşsizliği, yeterli istatistiğin aynı zamanda 'tam' olmasına bağlıdır.

Anahtar Kavram

Eğrisel Üstel Ailelerde Tamlık (Completeness) ve Open Set Condition

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru