Examkin

Soru

Zorluk: ZorSürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

Bir petrokimya tesisindeki kritik bir kimyasal reaktörün basınç stabilizasyon valfi, arıza ve onarım süreçlerine bağlı olarak S={V1,V2,V3}S = \{V_1, V_2, V_3\} durum uzayına sahip sürekli zamanlı bir Markov zinciri (CTMC) ile izlenmektedir. Sistemdeki geçiş oranlarını saat−1\text{saat}^{-1} cinsinden gösteren sonsuz küçük üreteç (infinitesimal generator) matrisi QQ aşağıda verilmiştir:

Q=[−a403−5b06−c] Q = \begin{bmatrix} -a & 4 & 0 \\ 3 & -5 & b \\ 0 & 6 & -c \end{bmatrix}

Sürekli zamanlı Markov süreçlerinin temel özellikleri dikkate alındığında, bu sistemin uzun dönemde (kararlı durumda) V2V_2 durumunda bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    425\frac{4}{25}
  2. B
    316\frac{3}{16}
  3. C
    1237\frac{12}{37}
  4. D
    13\frac{1}{3}
  5. 1225\frac{12}{25}Cevap

Cevap

Sistemin uzun dönemde V2V_2 durumunda bulunma olasılığı 1225\frac{12}{25}'tir.
Sürekli zamanlı Markov süreçlerinde Q-matrisinin satır toplamları sıfır olmalıdır. Buradan matristeki eksik bb değeri 2 olarak bulunur. Kararlı durum denklemleri (πQ=0\pi Q = 0) çözüldüğünde π2=43π1\pi_2 = \frac{4}{3}\pi_1 ve π3=49π1\pi_3 = \frac{4}{9}\pi_1 oranları elde edilir. Toplam olasılığın 1 olma şartından π1=925\pi_1 = \frac{9}{25}, ve dolayısıyla soruda istenen V2V_2 durumunun olasılığı π2=1225\pi_2 = \frac{12}{25} olarak kesin biçimde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Q-matrisinin özelliklerini kullanarak bilinmeyen geçiş oranlarını (a,b,ca, b, c) bulmak.
Satır toplamları sıfır olmalıdır: 2. satır ic¸in 3−5+b=0  ⟹  b=22.\text{ satır için } 3 - 5 + b = 0 \implies b = 2. Diğer satırlardan a=4a=4 ve c=6c=6 elde edilir.
Sürekli zamanlı Markov zincirlerinde herhangi bir durumdan ayrılma hızı (köşegen elemanın negatifi), diğer tüm durumlara geçiş hızlarının toplamına eşit olmalıdır.
2
Kararlı durum (steady-state) denklemlerini (πQ=0\pi Q = 0) kurmak.
−4π1+3π2=0  ⟹  π2=43π1-4\pi_1 + 3\pi_2 = 0 \implies \pi_2 = \frac{4}{3}\pi_1 ve 2π2−6π3=0  ⟹  π3=13π2=49π12\pi_2 - 6\pi_3 = 0 \implies \pi_3 = \frac{1}{3}\pi_2 = \frac{4}{9}\pi_1 oranları elde edilir.
Uzun dönemde sistem dengededir, yani bir duruma giriş hızlarının toplamı, o durumdan çıkış hızlarının toplamına eşit olmalıdır (Global denge denklemleri).
3
Toplam olasılık kuralını uygulayarak π1\pi_1 olasılığını bulmak.
π1+129π1+49π1=1  ⟹  259π1=1  ⟹  π1=925\pi_1 + \frac{12}{9}\pi_1 + \frac{4}{9}\pi_1 = 1 \implies \frac{25}{9}\pi_1 = 1 \implies \pi_1 = \frac{9}{25} olarak bulunur.
Sistem her an mutlak suretle bu üç durumdan birinde bulunmak zorundadır, bu nedenle kararlı durum olasılıklarının toplamı 1'e eşittir.
4
İstenilen V2V_2 durumu için kararlı durum olasılığını hesaplamak.
π2=43×925=1225\pi_2 = \frac{4}{3} \times \frac{9}{25} = \frac{12}{25} bulunur.
Soruda sistemin uzun dönemde V2V_2 durumunda bulunma olasılığı sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Analizi ve Üreteç Matrisi
Bu soruyu puanla

Konular

Sürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

Bu konudan daha fazla soru