X rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu M_X(t) = e^{4t + 2t^2} olarak verilmişti… — KPSS İstatistik

$X$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_X(t) = e^{4t + 2t^2}$ olarak verilmiştir.

Buna göre, $Y = 3X - 1$ biçiminde tanımlanan $Y$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_Y(t)$ ve standart sapması ( $\sigma_Y$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

A
$M_Y(t) = e^{11t + 18t^2}$ ve $\sigma_Y = 36$
B
$M_Y(t) = e^{11t + 6t^2}$ ve $\sigma_Y = 2\sqrt{3}$
$M_Y(t) = e^{11t + 18t^2}$ ve $\sigma_Y = 6$ Cevap
D
$M_Y(t) = e^{11t + 18t^2}$ ve $\sigma_Y = 18$
E
$M_Y(t) = e^{3t + 2t^2}$ ve $\sigma_Y = 2$

Cevap

Moment çıkaran fonksiyonu

M_Y(t) = e^{11t + 18t^2}

ve standart sapması

\sigma_Y = 6

olan seçenektir.

Doğrusal dönüşümlerde moment çıkaran fonksiyon

M_{aX+b}(t) = e^{bt}M_X(at)

genel kuralı ile hesaplanır.

a=3

b=-1

değerleri

M_X(t)

fonksiyonunda yerine konulduğunda,

M_Y(t) = e^{-t} e^{4(3t) + 2(3t)^2} = e^{11t + 18t^2}

elde edilir. Moment çıkaran fonksiyonun üslü ifadesindeki

t^2

'nin katsayısı her zaman

\sigma^2/2

'yi verir. Buradan

\sigma_Y^2/2 = 18

eşitliğinden varyansın

36

, standart sapmanın ise bunun karekökü olan

6

olduğu tespit edilir.

Adım Adım Çözüm

Doğrusal dönüşümlerde moment çıkaran fonksiyon kuralını yazın.

M_Y(t) = E[e^{t(3X-1)}] = e^{-t} M_X(3t)

Bir rastgele değişkenin doğrusal dönüşümü (

aX+b

) yapıldığında MGF kuralı

M_{aX+b}(t) = e^{bt}M_X(at)

şeklindedir.

M_X(3t)

ifadesini verilen fonksiyona göre hesaplayın.

M_X(3t) = e^{4(3t) + 2(3t)^2} = e^{12t + 18t^2}

Kural gereği orijinal MGF'de

t

gördüğümüz yere

3t

yazarız.

Yeni moment çıkaran fonksiyonu, bulduğunuz değerleri çarparak oluşturun.

M_Y(t) = e^{-t} \cdot e^{12t + 18t^2} = e^{11t + 18t^2}

Üslü sayılarda tabanlar aynı olduğunda üstler toplanır kuralıyla son fonksiyona ulaşılır.

Sonuç fonksiyonundan Normal dağılım parametrelerini eşleştirerek standart sapmayı bulun.

Normal dağılımın MGF formatı

e^{\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}

'dir. Buradan

\frac{1}{2}\sigma_Y^2 = 18 \implies \sigma_Y^2 = 36

bulunur. Standart sapma

\sigma_Y = \sqrt{36} = 6

'dır.

Dağılımın moment çıkaran fonksiyonunun üssündeki

t^2

teriminin katsayısı, her zaman varyansın yarısına eşittir.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyon (MGF) Yöntemi ile Doğrusal Dönüşümler

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular