Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBernoulli Dağılımı

Bir kamu kurumunun elektronik belge yönetim sistemine (EBYS) yüklenen evrakların, sistem tarafından otomatik olarak hatalı formatta işaretlenme durumu incelenmektedir. Sisteme yüklenen herhangi bir evrakın hatalı formatta olma olasılığı pp (0<p<1)(0 < p < 1) olarak belirlenmiş olup, her evrakın durumu birbirinden bağımsızdır. Bir evrakın hatalı formatta işaretlenmesi durumu X=1X=1, hatasız kabul edilmesi durumu ise X=0X=0 değeri ile modellenmektedir.

Buna göre, XX rastgele değişkeninin varyansı (Var(X)Var(X)) ve herhangi bir t∈Rt \in \mathbb{R} için moment çıkaran fonksiyonu (MX(t)M_X(t)) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

  1. A
    Var(X)=p2,MX(t)=1−p+petVar(X) = p^2 \quad , \quad M_X(t) = 1 - p + p e^t
  2. B
    Var(X)=p(1+p),MX(t)=p+(1−p)etVar(X) = p(1+p) \quad , \quad M_X(t) = p + (1-p) e^t
  3. Var(X)=p(1−p),MX(t)=1−p+petVar(X) = p(1-p) \quad , \quad M_X(t) = 1 - p + p e^tCevap
  4. D
    Var(X)=p,MX(t)=1−p+petVar(X) = \sqrt{p} \quad , \quad M_X(t) = 1 - p + p e^t
  5. E
    Var(X)=p(1−p),MX(t)=ep(et−1)Var(X) = p(1-p) \quad , \quad M_X(t) = e^{p(e^t - 1)}

Cevap

Var(X)=p(1−p)Var(X) = p(1-p) ve MX(t)=1−p+petM_X(t) = 1 - p + p e^t ifadelerinin birlikte yer aldığı seçenektir.
Sadece iki farklı durum barındıran (1 ve 0) Bernoulli dağılımı gösteren XX indikatör değişkeni için varyans hesaplaması Var(X)=E[X2]−(E[X])2=p−p2=p(1−p)Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p) formülüyle standart olarak elde edilir. Moment çıkaran fonksiyon ise tanım gereği MX(t)=E[etX]M_X(t) = E[e^{tX}] eşitliğinden yola çıkılarak (1−p)+pet(1-p) + p e^t şeklinde bulunur. Her iki değerin de doğru ifade edildiği eşleştirme matematiksel olarak eksiksizdir.

Adım Adım Çözüm

1
XX rastgele değişkeninin beklenen değerini (E[X]E[X]) bulma
X∈{0,1}X \in \{0, 1\} değerlerini aldığından, E[X]=0⋅(1−p)+1⋅p=pE[X] = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = p elde edilir.
Varyans formülünü uygulayabilmek için öncelikle birinci moment olan beklenen değere ihtiyaç vardır.
2
XX rastgele değişkeninin ikinci momentini (E[X2]E[X^2]) hesaplama
X2X^2 değişkeni de yalnızca 02=00^2=0 ve 12=11^2=1 değerlerini alacağından, E[X2]=0⋅(1−p)+1⋅p=pE[X^2] = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = p olur.
Varyans formülünün (Var(X)=E[X2]−(E[X])2Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2) ana bileşenlerinden biridir.
3
Varyansı (Var(X)Var(X)) formülde yerine koyma
Var(X)=E[X2]−(E[X])2=p−p2=p(1−p)Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p) sonucu bulunur.
Bernoulli değişkeninin temel değişkenlik ölçüsünü kesinleştirmek için adımlar birleştirilir.
4
Moment çıkaran fonksiyonu (MGF) tanımlama
MX(t)=E[etX]=et⋅0⋅P(X=0)+et⋅1⋅P(X=1)=1⋅(1−p)+et⋅p=1−p+petM_X(t) = E[e^{tX}] = e^{t \cdot 0} \cdot P(X=0) + e^{t \cdot 1} \cdot P(X=1) = 1 \cdot (1-p) + e^t \cdot p = 1 - p + p e^t olarak elde edilir.
Moment çıkaran fonksiyonun tanım formülü kullanılarak teorik gösterim doğrulanır.

Anahtar Kavram

Bernoulli Dağılımında Beklenen Değer, Varyans ve Moment Çıkaran Fonksiyon İlişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Bernoulli Dağılımı

Bu konudan daha fazla soru