Bir kamu kurumunda risk analizi yapan bir uzman, ölçüm hatalarını modellemek için iki para… — KPSS İstatistik

Bir kamu kurumunda risk analizi yapan bir uzman, ölçüm hatalarını modellemek için iki parametreli $\boldsymbol{\theta} = (\theta_1, \theta_2)$ bir dağılım kullanmaktadır. İncelemeler sonucunda bu dağılımın üstel aile (exponential family) formunda yazılabildiği görülmüştür. Uzman, $n$ çaplı rastgele örneklem üzerinden elde ettiği ortak yeterli istatistik vektörü $\mathbf{T} = (T_1, T_2)$ 'ye Lehmann-Scheffé teoremini uygulayarak parametreler için Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) elde etmek istemektedir.

Modelin doğal (kanonik) parametre vektörü $\boldsymbol{\eta} = (\eta_1, \eta_2)$ ve doğal parametre uzayı $\mathcal{H}$ olmak üzere, $\mathbf{T}$ 'nin tam (complete) bir istatistik olduğunu ispatlamak için aşağıdaki koşullardan hangisinin sağlanması teorik olarak zorunludur?

Doğal parametre uzayı $\mathcal{H}$ 'nin, $\mathbb{R}^2$ 'de iki boyutlu açık bir dikdörtgen (veya açık bir alt küme) içermesi.Cevap
B
Dağılımın tanımlı olduğu destek kümesinin (support) $\theta_1$ ve $\theta_2$ parametrelerinden bağımsız olması.
C
Doğal parametreler $\eta_1$ ve $\eta_2$ 'nin $\mathbb{R}^2$ 'de bir eğri oluşturacak şekilde birbirinin sürekli bir fonksiyonu olarak ifade edilebilmesi.
D
Yeterli istatistik vektörü $\mathbf{T}$ 'nin bileşenlerinin varyanslarının, Cramer-Rao alt sınırına tam olarak eşit olması.
E
$\mathbf{T}$ istatistiğinin, $\boldsymbol{\theta}$ için hem yansız hem de tutarlı (consistent) bir tahmin edici olması.

Cevap

Doğal parametre uzayı

\mathcal{H}

'nin,

\mathbb{R}^2

'de iki boyutlu açık bir dikdörtgen (veya açık bir alt küme) içermesi.

Bir üstel ailenin

k

parametreli doğal formu yazıldığında, ortak yeterli istatistik vektörü

\mathbf{T} = (T_1, \dots, T_k)

'nin tam (complete) olabilmesi için, doğal parametre vektörü

\boldsymbol{\eta}

'nın tanımlı olduğu uzayın

\mathbb{R}^k

'da açık bir alt küme (veya

k

boyutlu bir dikdörtgen) içermesi matematiksel bir zorunluluktur. Bu teorem sağlandığında,

\mathbf{T}

'nin herhangi bir fonksiyonunun beklenen değeri sıfır ise, o fonksiyonun kendisi de 1 olasılıkla sıfır olmak zorundadır.

Adım Adım Çözüm

Soruda hedeflenen Lehmann-Scheffé teoreminin ön koşulları analiz edilir.

Teoremin uygulanabilmesi için yeterli istatistiğin aynı zamanda tam (complete) olması gerektiği belirlenir.

UMVUE elde etmenin temel yolu, tam ve yeterli bir istatistiğin fonksiyonunu kullanmaktır.

Üstel ailelerde tamlık teoreminin (Completeness Theorem for Exponential Families) gereklilikleri hatırlanır.

k

-parametreli bir üstel ailede yeterli istatistik vektörünün tam olması için,

\boldsymbol{\eta}

doğal parametre vektörünün değer aldığı

\mathcal{H}

uzayının

\mathbb{R}^k

'da açık bir küme (açık dikdörtgen) içermesi gerektiği kuralı ifade edilir.

Tamlığın tanımı olan

E[g(\mathbf{T})] = 0 \implies P(g(\mathbf{T}) = 0) = 1

koşulunun matematiksel ispatı, olabilirlik fonksiyonunun Laplace dönüşümü özelliklerinden faydalanır ve bu dönüşümün eşsizliği için açık küme zorunludur.

Eğrisel (curved) üstel aile durumu değerlendirilerek çeldiriciler elenir.

Parametrelerin birbirinin fonksiyonu olduğu durumlarda (örneğin

\eta_2 = \eta_1^2

) uzay

\mathbb{R}^2

'de alan kaplamayan bir eğriye dönüşür ve açık küme şartı ihlal edildiği için tamlık bozulur.

Tamlık şartlarının hangi durumlarda geçersiz olacağını bilmek, doğru koşulu ayırt etmeyi sağlar.

Anahtar Kavram

Üstel Ailelerde Tamlık Teoremi (Completeness in Exponential Families)

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru