Bir üretim sürecinde, 'Sıcaklık' (A faktörü, 3 düzey) ve 'Katalizör Tipi' (B faktörü, 4 dü… — KPSS İstatistik

Bir üretim sürecinde, 'Sıcaklık' ( $A$ faktörü, $3$ düzey) ve 'Katalizör Tipi' ( $B$ faktörü, $4$ düzey) olmak üzere iki faktörün ürün verimi üzerindeki etkileri araştırılmak istenmektedir. Deney, tamamen rastgele tasarım ilkelerine göre her bir faktör kombinasyonunda (hücrede) eşit sayıda gözlem olacak şekilde yürütülmüştür.

İki yönlü varyans analizi (ANOVA) sonuçlarına göre aşağıdaki bilgiler elde edilmiştir:
- Genel Serbestlik Derecesi: $59$
- A Faktörü Kareler Ortalaması ( $MS_A$ ): $120$
- Hata Kareler Toplamı ( $SSE$ ): $480$
- $A \times B$ Etkileşimi için $F$ İstatistiği ( $F_{AB}$ ): $2,5$

Modeldeki tüm faktörlerin sabit etkili (fixed effects) olduğu bilindiğine göre, $A$ faktörünün ana etkisini test etmek için hesaplanması gereken $F$ istatistiği ( $F_A$ ) ve modelin etkileşim kareler toplamı ( $SS_{AB}$ ) değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

A
$1,5$ ve $1200$
B
$4,8$ ve $300$
$12$ ve $150$ Cevap
D
$4,8$ ve $150$
E
$12$ ve $25$

Cevap

A

faktörü için hesaplanması gereken

F

istatistiği

12

, etkileşim kareler toplamı ise

150

olmalıdır.

Doğru sonuca ulaşmak için model yapısının geriye dönük çözümlenmesi gerekir. İlk olarak genel gözlem sayısı (

N

) tespit edilir: Genel serbestlik derecesi

59

olduğu için

N = 60

'tır. Faktör düzeyleri

a=3

b=4

olarak verildiğinden, hücre başına düşen tekrar sayısı (

r

3 \times 4 \times r = 60

denkleminden

r = 5

bulunur. İkinci adımda hata varyansına ulaşılır: Hata serbestlik derecesi,

a \times b \times (r-1) = 3 \times 4 \times 4 = 48

'dir. Buradan Hata Kareler Ortalaması (

MSE

) =

480 / 48 = 10

hesaplanır. Sabit etkili model varsayımı altında ana etki test edilirken faktörün Kareler Ortalaması doğrudan Hata Kareler Ortalamasına bölünür:

F_A = 120 / 10 = 12

. Son adımda etkileşim terimi çözümlenir: Etkileşim serbestlik derecesi

(3-1) \times (4-1) = 6

'dır. Formülden

F_{AB} = MS_{AB} / MSE = 2,5

olduğuna göre,

MS_{AB} = 2,5 \times 10 = 25

'tir. Nihayetinde

SS_{AB} = 25 \times 6 = 150

elde edilir. Etkileşim etkisinin (2,5) anlamlı çıkması durumunda, A faktörünün (12) ne kadar yüksek çıkarsa çıksın dikkatli yorumlanması ve faktör bağımlılığının dikkate alınması temel teorik bir kuraldır.

Adım Adım Çözüm

Genel gözlem sayısını (

N

) ve hücre başına düşen gözlem sayısını (

r

) hesaplamak.

N = 60

r = 5

bulunur.

Genel serbestlik derecesi

N - 1 = 59

olduğundan

N = 60

'tır.

A

faktörü düzeyi

a=3

B

faktörü düzeyi

b=4

olduğuna göre

a \times b \times r = 60

denkleminden

12r = 60 \implies r = 5

gözlem hesaplanır.

Hata serbestlik derecesini (

df_E

) ve Hata Kareler Ortalamasını (

MSE

) bulmak.

df_E = 48

MSE = 10

Hata serbestlik derecesi

a \times b \times (r - 1) = 3 \times 4 \times 4 = 48

'dir. Buradan Hata Kareler Ortalaması,

MSE = SSE / df_E = 480 / 48 = 10

olarak bulunur.

A

faktörünün ana etkisi için test istatistiğini (

F_A

) hesaplamak.

F_A = 12

Sabit etkili modellerde (Model I) ana etki test edilirken faktörün kareler ortalaması, hata kareler ortalamasına bölünmelidir:

F_A = MS_A / MSE = 120 / 10 = 12

Etkileşim serbestlik derecesini (

df_{AB}

) belirlemek.

df_{AB} = 6

Etkileşim serbestlik derecesi, ana faktörlerin serbestlik derecelerinin çarpımıdır:

(a - 1) \times (b - 1) = 2 \times 3 = 6

Etkileşim kareler ortalamasını (

MS_{AB}

) ve etkileşim kareler toplamını (

SS_{AB}

) bulmak.

MS_{AB} = 25

SS_{AB} = 150

F_{AB} = MS_{AB} / MSE

verildiğinden

2,5 = MS_{AB} / 10 \implies MS_{AB} = 25

'tir. Kareler toplamı,

SS_{AB} = MS_{AB} \times df_{AB} = 25 \times 6 = 150

hesaplanır.

Anahtar Kavram

Hücre Başına Çok Gözlemli (Etkileşimli) İki Yönlü ANOVA'da Serbestlik Derecesi ve Beklenen Kareler Ortalaması Kuralları

Tahmini Süre:3m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru