Bir barajdaki günlük su buharlaşma miktarı (milimetre cinsinden) X rassal değişkeni, \thet… — KPSS İstatistik

Bir barajdaki günlük su buharlaşma miktarı (milimetre cinsinden) $X$ rassal değişkeni, $\theta > 0$ olmak üzere aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonu ile modellenmektedir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{4x^3}{\theta^4}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Bu kitleden çekilen $n$ birimlik bir rassal örneklem için örneklem ortalaması $\bar{X}$ tahmin edicisinin $\theta$ parametresi için Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{(3n+2)\theta^2}{75n}$ Cevap
B
$\frac{2\theta^2}{75n}$
C
$\frac{(3n+1)\theta^2}{75n}$
D
$\frac{\theta^2}{25}$
E
$\frac{(n+2)\theta^2}{75n}$

Cevap

Örneklem ortalaması

\bar{X}

tahmin edicisinin

\theta

parametresi için Hata Kareler Ortalaması

\frac{(3n+2)\theta^2}{75n}

olarak bulunur.

Tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması (MSE), varyansı (

2\theta^2/75n

) ile yan miktarının karesinin (

[-\theta/5]^2 = \theta^2/25

) toplamıdır. Bu iki terim toplandığında payda eşitleme sonucu

(3n+2)\theta^2/75n

ifadesine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

X

rassal değişkeninin beklenen değerini (

E[X]

) hesaplayın.

E[X] = \int_{0}^{\theta} x \cdot \frac{4x^3}{\theta^4} dx = \frac{4}{\theta^4} \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{\theta} = \frac{4\theta}{5}

Tahmin edicinin beklenen değerini ve yan (bias) miktarını bulmak için kitlenin beklenen değerine ihtiyaç vardır.

X

rassal değişkeninin varyansını (

Var(X)

) hesaplayın.

E[X^2] = \int_{0}^{\theta} x^2 \cdot \frac{4x^3}{\theta^4} dx = \frac{4}{\theta^4} \left[ \frac{x^6}{6} \right]_{0}^{\theta} = \frac{2\theta^2}{3}

olduğundan;

Var(X) = \frac{2\theta^2}{3} - \left( \frac{4\theta}{5} \right)^2 = \frac{2\theta^2}{3} - \frac{16\theta^2}{25} = \frac{50\theta^2 - 48\theta^2}{75} = \frac{2\theta^2}{75}

Tahmin edicinin varyansını hesaplamak için kitlenin varyansının bilinmesi gerekir.

Tahmin edicinin beklenen değerini ve yan (bias) miktarını hesaplayın.

E[\bar{X}] = E[X] = \frac{4\theta}{5}

Yan(\bar{X}) = E[\bar{X}] - \theta = \frac{4\theta}{5} - \theta = -\frac{\theta}{5}

MSE formülünde yer alan yan (bias) bileşenini belirlemek için gereklidir.

Tahmin edicinin varyansını hesaplayın.

Var(\bar{X}) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{2\theta^2}{75n}

MSE formülündeki varyans bileşenini belirlemek için gereklidir.

MSE = Var + Yan^2

formülünü kullanarak sonucu bulun.

MSE(\bar{X}) = \frac{2\theta^2}{75n} + \left( -\frac{\theta}{5} \right)^2 = \frac{2\theta^2}{75n} + \frac{\theta^2}{25}

MSE(\bar{X}) = \frac{2\theta^2 + 3n\theta^2}{75n} = \frac{(3n+2)\theta^2}{75n}

Hata Kareler Ortalaması, varyans ve yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE), bir tahmin edicinin hem değişkenliğini (varyans) hem de doğruluğunu (yansızlık/yan) aynı anda ölçen pedagojik bir ölçüttür.

Daha Fazla Pratik

Tahmin edicinin yansız olması için örneklem ortalamasının hangi katsayı ile çarpılması gerektiğini düşünerek UMVUE kavramını araştırabilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Konular

Bu konudan daha fazla soru