Examkin

Soru

Zorluk: KolayTahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) tarafından yürütülen bir hanehalkı bilişim teknolojileri kullanım araştırmasında, rastgele seçilen nn bireyin internet kullanma durumu (kullananlar 1, kullanmayanlar 0) pp parametreli Bernoulli dağılımına uymaktadır. Bu kitle içerisinden seçilen X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n örneklemi için pp parametresinin yeterli istatistiği aşağıdakilerden hangisidir?

  1. ∑i=1nXi\sum_{i=1}^{n} X_iCevap
  2. B
    max⁡(X1,X2,…,Xn)\max(X_1, X_2, \dots, X_n)
  3. C
    X1+XnX_1 + X_n
  4. D
    ∏i=1nXi\prod_{i=1}^{n} X_i
  5. E
    1n∑i=1n(Xi−p)2\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - p)^2

Cevap

Bernoulli dağılımı için yeterli istatistik, gözlemlerin toplamı olan ∑i=1nXi\sum_{i=1}^{n} X_i ifadesidir.
Doğru seçenek, Bernoulli dağılımının olabilirlik fonksiyonu üzerinden Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uygulandığında, parametreye bağlı kısmın sadece gözlemlerin toplamı olan ∑Xi\sum X_i üzerinden ifade edilebilmesi nedeniyle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik fonksiyonunu (L(p)L(p)) yazın.
L(p)=∏i=1npxi(1−p)1−xi=p∑xi(1−p)n−∑xiL(p) = \prod_{i=1}^{n} p^{x_i} (1-p)^{1-x_i} = p^{\sum x_i} (1-p)^{n-\sum x_i}
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulamak için fonksiyonun çarpım formuna ihtiyaç vardır.
2
Fonksiyonu g(T(x),p)g(T(x), p) ve h(x)h(x) bileşenlerine ayırın.
L(p)=[p∑xi(1−p)n−∑xi]×[1]L(p) = [p^{\sum x_i} (1-p)^{n-\sum x_i}] \times [1] burada g(T(x),p)=p∑xi(1−p)n−∑xig(T(x), p) = p^{\sum x_i} (1-p)^{n-\sum x_i} ve h(x)=1h(x) = 1 olur.
Teoreme göre, eğer olabilirlik fonksiyonu bu şekilde ayrılabiliyorsa T(x)T(x) yeterli istatistiktir.
3
Yeterli istatistiği (T(x)T(x)) tanımlayın.
T(x)=∑i=1nXiT(x) = \sum_{i=1}^{n} X_i
Parametreyi içeren fonksiyonun sadece gözlemlerin toplamına bağlı olduğu görülmektedir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi: Bir T(x)T(x) istatistiğinin yeterli olması için olabilirlik fonksiyonunun L(θ)=g(T(x),θ)⋅h(x)L(\theta) = g(T(x), \theta) \cdot h(x) formunda yazılabilmesi gerekir.

Daha Fazla Pratik

Poisson dağılımı için yeterli istatistiğin de benzer şekilde gözlemlerin toplamı olup olmadığını kontrol ediniz.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bu konudan daha fazla soru