Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTahmin ve Tahmin Edici Kavramları

Büyük ölçekli bir araştırmada, bir kitleye ait bilinmeyen θ\theta parametresini kestirmek amacıyla bir olasılık örneklemesi tasarımı kurgulanmıştır. Araştırmacı, kitle parametresini tahmin etmek için örneklem öncesi gözlem değerlerini temsil eden X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele değişkenlerinin bir fonksiyonu olan T(X)=g(X1,X2,…,Xn)T(X) = g(X_1, X_2, \dots, X_n) kuralını belirlemiştir.

Saha çalışması tamamlanıp x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n spesifik gözlem değerleri elde edildikten sonra, araştırmacı bu sayısal verileri fonksiyonda yerine koyarak g(x1,x2,…,xn)=42,5g(x_1, x_2, \dots, x_n) = 42,5 değerini hesaplamıştır. Ayrıca, elde edilen bu spesifik değer ile kitle parametresi arasındaki farkı (42,5−θ)(42,5 - \theta) olarak formüle etmiştir.

Örnekleme teorisi ve istatistiksel çıkarım prensipleri dikkate alındığında, tanımlanan T(X)T(X) kuralı, hesaplanan 42,542,5 değeri ve (42,5−θ)(42,5 - \theta) farkının kavramsal doğalarıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. T(X)T(X) kuralı, örneklem uzayından parametre uzayına tanımlı bir rastgele değişken olup "tahmin edici" olarak adlandırılır; 42,542,5 değeri bu rastgele değişkenin spesifik bir örneğe dayalı sabit gerçekleşmesi olan "tahmin" değeridir; (42,5−θ)(42,5 - \theta) farkı ise çekilen bu spesifik örnekleme özgü gerçekleşen fiili örnekleme hatasıdır.Cevap
  2. B
    T(X)T(X) kuralı kitleye ait temel bir "parametre" fonksiyonunu temsil ederken, hesaplanan 42,542,5 değeri bu parametrenin örneklem üzerinden elde edilen "tahmin edicisi"dir ve (42,5−θ)(42,5 - \theta) farkı kullanılan yöntemin yanlılığını (bias) ölçer.
  3. C
    Sayısal bir hesaplama sonucu olduğu için 42,542,5 değeri asıl "tahmin edici" niteliğini taşır; T(X)T(X) fonksiyonu ise bu sonuca ulaşmak için kurulan "tahmin" modelidir ve (42,5−θ)(42,5 - \theta) farkı saha uygulamasından kaynaklanan örnekleme dışı hata miktarını gösterir.
  4. D
    Hem T(X)T(X) fonksiyonu hem de 42,542,5 değeri kavramsal olarak birer "istatistik" olup literatürde eş anlamlı olarak "tahmin" adını alırlar ve aralarında istatistiksel fark yoktur; (42,5−θ)(42,5 - \theta) farkı ise bu istatistiğin standart hatasını ifade eder.
  5. E
    T(X)T(X) kuralı örneklemden elde edilecek olası tüm sonuçları kapsadığı için kitle "parametresi" olarak kabul edilir; 42,542,5 değeri kitleye genellenebilen tekil "tahmin edici" rastgele değişkenidir ve (42,5−θ)(42,5 - \theta) farkı hata varyansı olarak tanımlanır.

Cevap

Doğru sınıflandırma; T(X) kuralının rastgele değişken yapısındaki 'tahmin edici', elde edilen sayısal sonucun sabit bir 'tahmin' ve aralarındaki farkın spesifik 'örnekleme hatası' olduğunu belirten ifadedir.
İstatistiksel çıkarımda çok temel bir ayrım vardır: Tahmin edici (estimator), gözlemlenmemiş verilerin bir fonksiyonu olduğu için bir rastgele değişkendir ve bir kuralı ifade eder. Tahmin (estimate) ise, veriler derlendikten sonra bu fonksiyondan hesaplanan sabit bir sayıdır (bu olayda 42,5). Ayrıca, (42,5−θ)(42,5 - \theta) işlemi tek bir spesifik örneklemden kaynaklanan fiili örnekleme hatasını (gerçek parametreden sapmayı) verir.

Adım Adım Çözüm

1
T(X)T(X) fonksiyonunun matematiksel doğasını analiz etme
T(X)=g(X1,X2,…,Xn)T(X) = g(X_1, X_2, \dots, X_n) ifadesi, henüz gözlemlenmemiş rastgele değişkenlerin bir fonksiyonudur. Dolayısıyla kendisi de bir rastgele değişkendir.
Örnekleme teorisinde, örneklem uzayından bir değer üreten kural veya formüllere 'tahmin edici' (estimator) denir.
2
42,542,5 sayısının kavramsal karşılığını belirleme
42,542,5 değeri, spesifik bir x1,…,xnx_1, \dots, x_n veri setinin fonksiyona sokulmasıyla elde edilen sabit (realize olmuş) bir sayıdır.
Bir tahmin edicinin, çekilen belirli bir örneklem için aldığı sayısal değere 'tahmin' (estimate) veya kestirim denir.
3
(42,5−θ)(42,5 - \theta) farkının niteliğini tanımlama
Bu fark, spesifik bir örneklem için hesaplanan tahmin değeri ile gerçek kitle parametresi arasındaki mutlak sapmadır.
Bu değer, o spesifik çekilişteki 'örnekleme hatası'nın gerçekleşmiş halidir. Beklenen değer operatörü içermediği için yanlılık (bias) değildir, karesi alınmış beklenti olmadığı için de varyans değildir.

Anahtar Kavram

Tahmin Edici (Estimator) ve Tahmin (Estimate) Arasındaki Matematiksel Fark
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin ve Tahmin Edici Kavramları

Bu konudan daha fazla soru