Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEn Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği (Invariance)

Bir tarımsal araştırma merkezinde üretilen paketlerin ağırlıklarının, ortalaması μ=500\mu = 500 gram olan normal dağılıma uygun olduğu bilinmektedir. Paket ağırlıklarının varyansı (σ2\sigma^2) ise bilinmeyen bir parametredir. nn birimlik rastgele bir örneklem üzerinden yapılan analiz sonucunda σ2\sigma^2 parametresinin en çok olabilirlik (MLE) tahmin edicisi σ^2\hat{\sigma}^2 olarak hesaplanmıştır. En çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik (invariance) özelliği dikkate alındığında, paket ağırlıklarının varyasyon katsayısı olan VK=σμVK = \frac{\sigma}{\mu} ifadesinin en çok olabilirlik tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. σ^2500\frac{\sqrt{\hat{\sigma}^2}}{500}Cevap
  2. B
    σ^2500\frac{\hat{\sigma}^2}{500}
  3. C
    σ^2n⋅500\frac{\sqrt{\hat{\sigma}^2}}{n \cdot 500}
  4. D
    σ^25002\frac{\hat{\sigma}^2}{500^2}
  5. E
    500⋅σ^2500 \cdot \sqrt{\hat{\sigma}^2}

Cevap

Varyasyon katsayısının en çok olabilirlik tahmin edicisi σ^2500\frac{\sqrt{\hat{\sigma}^2}}{500} ifadesidir.
En çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik özelliği (Invariance property) uyarınca, eğer θ^\hat{\theta}, θ\theta için bir MLE ise, o halde θ\theta'nın herhangi bir fonksiyonu olan g(θ)g(\theta)'nın MLE'si g(θ^)g(\hat{\theta})'dır. Bu soruda σ2\sigma^2 parametresinin MLE'si σ^2\hat{\sigma}^2 olarak verildiğinden ve varyasyon katsayısı g(σ2)=σ2500g(\sigma^2) = \frac{\sqrt{\sigma^2}}{500} şeklinde tanımlandığından, bu ifadenin MLE'si doğrudan parametre yerine tahmin edicisi konularak elde edilen σ^2500\frac{\sqrt{\hat{\sigma}^2}}{500} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Parametreyi ve mevcut tahmin ediciyi tanımla.
İlgili parametre σ2\sigma^2 ve bunun en çok olabilirlik tahmin edicisi σ^2\hat{\sigma}^2 olarak verilmiştir.
Değişmezlik özelliğini uygulamak için temel parametrenin MLE'sini bilmek gerekir.
2
Tahmin edilmek istenen fonksiyonu (g(σ2)g(\sigma^2)) belirle.
g(σ2)=VK=σμ=σ2500g(\sigma^2) = VK = \frac{\sigma}{\mu} = \frac{\sqrt{\sigma^2}}{500}
Varyasyon katsayısı standart sapmanın ortalamaya oranıdır; μ=500\mu=500 olduğu için fonksiyon bu şekilde kurulur.
3
En çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik (invariance) özelliğini uygula.
g(σ2)^=g(σ^2)\widehat{g(\sigma^2)} = g(\hat{\sigma}^2) yani VK^=σ^2500\widehat{VK} = \frac{\sqrt{\hat{\sigma}^2}}{500}
Zehna Teoremi'ne göre, bir parametrenin fonksiyonunun MLE'si, o fonksiyonun parametre MLE'si altındaki değerine eşittir.

Anahtar Kavram

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Değişmezlik (Invariance) Özelliği

Alternatif Yöntem

Zehna Teoremi'nin genel tanımını hatırlayarak, parametrik uzaydaki herhangi bir dönüşümün olabilirlik fonksiyonunun tepe noktasını koruduğu mantığıyla da çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği (Invariance)

Bu konudan daha fazla soru