Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek Kitle Oranı İçin Güven Aralığı

Bir yazılım şirketi, yeni piyasaya sürdüğü bir mobil uygulamanın aktif kullanıcıları arasında, uygulamaya yeni eklenen 'iki adımlı doğrulama' güvenlik özelliğini aktif edenlerin oranını tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla şirketin veri tabanından rastgele seçilen 1440014400 aktif kullanıcının incelendiği bir örneklemde, 51845184 kullanıcının bu özelliği etkinleştirdiği tespit edilmiştir.

Buna göre, tüm aktif kullanıcılar arasında iki adımlı doğrulama özelliğini etkinleştirenlerin gerçek oranı için %95\%95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
(Z0.05=1.645; Z0.025=1.96; Z0.005=2.575)(Z_{0.05} = 1.645; \ Z_{0.025} = 1.96; \ Z_{0.005} = 2.575)

  1. [0.35216, 0.36784][0.35216, \ 0.36784]Cevap
  2. B
    [0.35342, 0.36658][0.35342, \ 0.36658]
  3. C
    [0.35020, 0.36980][0.35020, \ 0.36980]
  4. D
    [0.34970, 0.37030][0.34970, \ 0.37030]
  5. E
    [0.35600, 0.36400][0.35600, \ 0.36400]

Cevap

[0.35216, 0.36784][0.35216, \ 0.36784] aralığıdır.
Verilen bilgiler doğrultusunda örneklem çapı n=14400n = 14400 ve ilgilenilen olay (iki adımlı doğrulamayı açanlar) sayısı x=5184x = 5184'tür. Örneklem oranı p^=5184/14400=0.36\hat{p} = 5184 / 14400 = 0.36 olarak hesaplanır. Örneklem oranının standart hatası SE=0.36×0.6414400=0.230414400=0.004SE = \sqrt{\frac{0.36 \times 0.64}{14400}} = \sqrt{\frac{0.2304}{14400}} = 0.004 olarak bulunur. %95\%95 güven aralığı için standart normal dağılımdan gelen Z0.025=1.96Z_{0.025} = 1.96 kritik değeri kullanılır. Formül p^±(Zα/2×SE)\hat{p} \pm (Z_{\alpha/2} \times SE) şeklinde uygulandığında, hesaplama 0.36±(1.96×0.004)=0.36±0.007840.36 \pm (1.96 \times 0.004) = 0.36 \pm 0.00784 olur. Bu işlem sonucunda güven aralığı sınırları [0.35216, 0.36784][0.35216, \ 0.36784] olarak doğru şekilde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem oranını (p^\hat{p}) hesapla.
p^=xn=518414400=0.36\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{5184}{14400} = 0.36
Kitle oranının nokta tahmini, örneklemdeki başarı sayısının örneklem hacmine bölümüyle elde edilir.
2
Tahminin standart hatasını (SE) hesapla.
SE=p^(1−p^)n=0.36×0.6414400=0.230414400=0.48120=0.004SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.36 \times 0.64}{14400}} = \sqrt{\frac{0.2304}{14400}} = \frac{0.48}{120} = 0.004
Tek kitle oranı için güven aralığı oluşturulurken varyans tahmini p^(1−p^)n\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} olarak kullanılır ve bunun karekökü standart hatayı verir.
3
Güven düzeyi için kritik Z değerini belirle.
%95\%95 güven düzeyi için 1−α=0.95  ⟹  α=0.051 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05 olup aralık tahmini yapıldığından iki yönlü test için Zα/2=Z0.025=1.96Z_{\alpha/2} = Z_{0.025} = 1.96 değeri seçilir.
Güven aralığı standart normal dağılım eğrisinin her iki kuyruğunda da α/2\alpha/2 alan bırakan Z tablo değerini gerektirir.
4
Hata payını (ME) ve güven aralığı sınırlarını hesapla.
Hata payı =1.96×0.004=0.00784= 1.96 \times 0.004 = 0.00784. Güven aralığı =0.36±0.00784=[0.35216, 0.36784]= 0.36 \pm 0.00784 = [0.35216, \ 0.36784]
Nokta tahmininden hata payının çıkarılması ve eklenmesi kitle oranı için aralığın alt ve üst sınırlarını verir.

Anahtar Kavram

Büyük örneklemlerde tek kitle oranı için asimptotik güven aralığı hesabı.
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Kitle Oranı İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru