Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTemel Bileşen Skorları

Bir üretim tesisinde, üretilen parçaların kalite kontrolü amacıyla iki farklı sensörden ölçüm alınmaktadır. Sensör ölçümlerine (X1X_1 ve X2X_2) ait ortalama vektörü μ=[1020]\boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} 10 \\ 20 \end{bmatrix} olarak hesaplanmıştır.

Değişkenlerin kovaryans matrisi üzerinden yapılan Temel Bileşenler Analizi (TBA) sonucunda, en büyük özdeğer λ1=4\lambda_1 = 4 ve bu özdeğere karşılık gelen birinci temel bileşen katsayı (özvektör) matrisi e1=[0.6−0.8]\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 0.6 \\ -0.8 \end{bmatrix} olarak bulunmuştur.

Üretim hattından rastgele seçilen bir parçanın sensör ölçümleri x=[1515]\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 15 \\ 15 \end{bmatrix} olarak kaydedilmiştir.

Buna göre, bu parça için hesaplanacak birinci temel bileşen skoru (Y1Y_1) ve birinci temel bileşen skorlarının genel varyansı (Var(Y1)Var(Y_1)) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 7 ve 4Cevap
  2. B
    -3 ve 4
  3. C
    7 ve 1
  4. D
    -3 ve 1
  5. E
    -7 ve 4

Cevap

İlgili gözlemin birinci temel bileşen skoru 7 ve birinci temel bileşen skorlarının varyansı 4'tür.
Doğru yanıt olan seçenekte temel bileşen skoru; ortalamadan arındırılmış değerler (5 ve -5) ile özvektör katsayılarının (0.6 ve -0.8) çarpımlarının toplamı olan 7'yi ve varyansın matematiksel özelliği gereği doğrudan özdeğere (4) eşit olduğunu doğru bir şekilde yansıtmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Merkezcilleştirilmiş gözlem vektörünü bulmak
x−μ=[1515]−[1020]=[5−5]\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} 15 \\ 15 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 10 \\ 20 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -5 \end{bmatrix}
Temel bileşen skorları hesaplanırken orijin kaymasını önlemek için gözlem verilerinin ortalamadan arındırılması gerekir.
2
Birinci temel bileşen skorunu hesaplamak
Y1=e1T(x−μ)=0.6×5+(−0.8)×(−5)=3+4=7Y_1 = \mathbf{e}_1^T (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) = 0.6 \times 5 + (-0.8) \times (-5) = 3 + 4 = 7
Temel bileşen skoru, özvektör (katsayılar) ile merkezcilleştirilmiş verinin iç çarpımı (doğrusal kombinasyonu) yoluyla elde edilir.
3
Birinci temel bileşen skorunun genel varyansını belirlemek
Var(Y1)=λ1=4Var(Y_1) = \lambda_1 = 4
Kovaryans matrisine dayalı temel bileşenler analizinde, her bir temel bileşenin açıkladığı varyans ilgili özdeğere (λ\lambda) eşittir.

Anahtar Kavram

Temel Bileşen Skorlarının Doğrusal Kombinasyonla Hesaplanması ve Özdeğer-Varyans İlişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Bileşen Skorları

Bu konudan daha fazla soru