Rao-Blackwell teoremi, istatistiksel çıkarımda bir parametre için mevcut bir yansız tahmin… — KPSS İstatistik

Rao-Blackwell teoremi, istatistiksel çıkarımda bir parametre için mevcut bir yansız tahmin edicinin varyansını iyileştirmek amacıyla kullanılır. $\theta$ parametresi için $T$ yansız bir tahmin edici ve $S$ ise $\theta$ için yeterli bir istatistik olarak tanımlanmıştır. Buna göre, Rao-Blackwell teoremi kullanılarak elde edilen $T^* = E[T|S]$ tahmin edicisi hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$\theta$ için yansızdır ve varyansı $T$ tahmin edicisinin varyansından küçük veya eşittir ( $Var(T^*) \leq Var(T)$ ).Cevap
B
$\theta$ için yanlı bir tahmin edicidir ve varyansı $T$ tahmin edicisinin varyansından büyüktür.
C
$\theta$ için yansızdır ancak varyansı $T$ tahmin edicisinin varyansından her zaman daha büyüktür ( $Var(T^*) > Var(T)$ ).
D
$\theta$ için yansızdır ancak bu tahmin edicinin hesaplanabilmesi için $S$ istatistiğinin yeterli olması şart değildir.
E
$\theta$ için yansızdır ancak varyansı her zaman $T$ tahmin edicisinin varyansına eşittir.

Cevap

Rao-Blackwell teoremi uyarınca yeni tahmin edici yansızdır ve varyansı orijinalinden küçük veya eşittir.

Rao-Blackwell teoreminin temel sonucu, yansız bir tahmin edicinin yeterli bir istatistik üzerindeki koşullu beklenen değerinin de yansız olması ve varyansının orijinal tahmin edicinin varyansını geçmemesidir. Bu, istatistiksel çıkarımda daha etkin tahmin ediciler bulmak için kullanılan temel bir yöntemdir.

Adım Adım Çözüm

Koşullu beklenen değerin yansızlık özelliğini kontrol et.

E[T^*] = E[E[T|S]] = E[T] = \theta

Yinelemeli beklentiler yasası (Law of Iterated Expectations) gereği, koşullu beklenen değerin beklenen değeri, orijinal değişkenin beklenen değerine eşittir.

Varyans bileşenleri formülünü uygulayarak varyans karşılaştırması yap.

Var(T) = Var(E[T|S]) + E[Var(T|S)] = Var(T^*) + E[Var(T|S)]

Varyans her zaman negatif olmayan bir değer olduğu için

Var(T) \geq Var(T^*)

olduğu matematiksel olarak kanıtlanır.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi ve Varyans İyileştirme

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru