Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı

Ticaret Bakanlığı Gümrükler Genel Müdürlüğü'nde görevli bir uzman, belirli bir gümrük kapısındaki ithalat beyannamelerinin onaylanma sürelerinin kitle ortalamasını (μ\mu, dakika) tahmin etmek istemektedir. Bu sürelerin normal dağılıma sahip olduğu bilinmekle birlikte, kitle varyansı bilinmemektedir.

Uzman, rastgele seçtiği n=25n = 25 adet beyannamenin onaylanma süresini incelemiş; örneklem ortalamasını xˉ=120\bar{x} = 120 dakika ve örneklem standart sapmasını s=15s = 15 dakika olarak hesaplamıştır.

(t24,0.025=2.064t_{24, 0.025} = 2.064 ve z0.025=1.96z_{0.025} = 1.96 olarak alınacaktır.)

Buna göre, beyanname onaylanma sürelerinin kitle ortalaması için %95 güven düzeyine sahip aralık tahmini ve bu güven düzeyinin doğru istatistiksel yorumu aşağıdakilerin hangisinde birlikte verilmiştir?

  1. A
    (114.120,125.880)(114.120, 125.880); kitle ortalamasının bu spesifik aralık içinde bulunma ihtimali %95'tir.
  2. (113.808,126.192)(113.808, 126.192); aynı süreç tekrarlanarak elde edilecek olası aralıkların %95'inin bilinmeyen kitle ortalamasını içermesi beklenir.Cevap
  3. C
    (114.120,125.880)(114.120, 125.880); aynı süreç tekrarlanarak elde edilecek olası aralıkların %95'inin bilinmeyen kitle ortalamasını içermesi beklenir.
  4. D
    (113.808,126.192)(113.808, 126.192); kitle ortalamasının bu spesifik aralık içinde bulunma ihtimali tam olarak %95'tir.
  5. E
    (89.040,150.960)(89.040, 150.960); örneklemden elde edilecek ortalamaların %95'inin bu aralığa düşeceği garanti edilmektedir.

Cevap

Doğru yanıt, aralığın (113.808, 126.192) olduğu ve yorumun "aynı süreç tekrarlanarak elde edilecek olası aralıkların %95'inin bilinmeyen kitle ortalamasını içermesi beklenir" şeklinde yapıldığı seçenektir.
Verilen problemde kitle varyansı bilinmemektedir, bu sebeple Z dağılımı yerine T dağılımı kritik değeri olan 2.0642.064 kullanılmalıdır. Standart hata 15/25=315/\sqrt{25}=3 olarak bulunduğunda hata payı 2.064×3=6.1922.064 \times 3 = 6.192 olur ve güven aralığı (113.808,126.192)(113.808, 126.192) şeklinde hesaplanır. Sıkcıl (frequentist) teoride güven aralıkları parametrenin bir olasılıkla o aralığa düştüğü şeklinde değil; bu prosedürün defalarca tekrar edilmesi durumunda oluşturulacak aralıkların %95'inin gerçek μ\mu değerini kapsayacağı şeklinde yorumlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kullanılacak dağılımı ve kritik değeri belirleme
Kitle varyansı bilinmediği ve standart sapma örneklemden (s=15s=15) hesaplandığı için Student-T dağılımı kullanılmalıdır. Serbestlik derecesi: v=n−1=25−1=24v = n - 1 = 25 - 1 = 24. %95 güven düzeyi için t24,0.025=2.064t_{24, 0.025} = 2.064 kritik değeri alınır.
Kitle varyansı bilindiğinde Z, bilinmediğinde ise örneklem varyansına bağlı olarak T dağılımı geçerli olmaktadır.
2
Standart hatayı (SE) hesaplama
SE=sn=1525=155=3SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3
Ortalamanın dağılımı etrafındaki varyasyon, standart sapmanın örneklem büyüklüğünün kareköküne bölünmesiyle elde edilen standart hata üzerinden ölçülür.
3
Güven aralığı (CI) sınırlarını hesaplama
Hata payı: ME=2.064×3=6.192ME = 2.064 \times 3 = 6.192. Alt sınır: 120−6.192=113.808120 - 6.192 = 113.808, Üst sınır: 120+6.192=126.192120 + 6.192 = 126.192. Aralık: (113.808,126.192)(113.808, 126.192)
Nokta tahmini olan örneklem ortalamasına hata payı eklenip çıkarılarak Aralık Tahmini elde edilir.
4
Güven düzeyini yorumlama
Güven düzeyinin doğru yorumu: Aynı süreç tekrarlanarak elde edilecek olası aralıkların %95'inin bilinmeyen kitle ortalamasını içermesi beklenir.
Klasik (frequentist) istatistikte, hesaplanan somut ve sabit bir aralığın kitle parametresini içerme 'olasılığından' söz edilemez; %95'lik güven düzeyi istatistiksel prosedürün (örnekleme ve hesaplama sürecinin) uzun vadedeki başarı oranını ifade eder.

Anahtar Kavram

Tek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı Hesaplama ve Yorumlama
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru