Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPoisson Dağılımı

Bir tekstil fabrikasında üretilen özel bir kumaştaki dokuma hatalarının sayısı Poisson dağılımına uymaktadır. Geçmiş verilere göre, bu kumaştan rastgele seçilen 50 m250\text{ m}^2'lik bir rulodaki dokuma hatası sayısının varyansı 1010'dur.

Buna göre, bu kumaştan kesilen 20 m220\text{ m}^2'lik bir parçada tam olarak 22 adet dokuma hatası bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 8e−48e^{-4}Cevap
  2. B
    13e−413e^{-4}
  3. C
    50e−1050e^{-10}
  4. D
    128e−161{}28e^{-1{}6}
  5. E
    8e−28e^{-2}

Cevap

İstenen alan için ölçeklenmiş parametre hesaplanarak formülde yerine konulduğunda sonuç 8e−48e^{-4} bulunur.
Poisson dağılımının en temel özelliklerinden biri, beklenen değerinin (λ\lambda) varyansına eşit olmasıdır. Soruda 50 m250\text{ m}^2'lik alandaki varyans 1010 verildiği için bu alanın ortalaması da λ50=10\lambda_{50} = 10'dur. Kumaştan 20 m220\text{ m}^2'lik bir parça kesildiğinde, alan küçüldüğü için yeni oran parametresi doğrusal olarak hesaplanmalıdır: λ20=10×2050=4\lambda_{20} = 10 \times \frac{20}{50} = 4. İstenilen nokta olasılığı, x=2x=2 değeri için P(X=2)=e−λλxx!P(X=2) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!} formülüne yerleştirilerek e−4⋅422!=16e−42=8e−4\frac{e^{-4} \cdot 4^2}{2!} = \frac{16e^{-4}}{2} = 8e^{-4} olarak doğru şekilde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
50 m250\text{ m}^2 için Poisson dağılımının parametresini (λ\lambda) belirlemek.
λ50=10\lambda_{50} = 10
Poisson dağılımında varyans değeri doğrudan dağılımın ortalamasına (beklenen değere) eşittir.
2
Belirlenen parametreyi sorulan alan olan 20 m220\text{ m}^2 için ölçeklemek.
λ20=10×(2050)=4\lambda_{20} = 10 \times \left(\frac{20}{50}\right) = 4
Poisson dağılımının oran parametresi zaman veya uzay (alan) birimiyle doğrusal (lineer) olarak orantılıdır.
3
Ölçeklenmiş parametre ile x=2x=2 için Poisson olasılık fonksiyonunu hesaplamak.
P(X=2)=e−4422!=16e−42=8e−4P(X=2) = \frac{e^{-4} 4^2}{2!} = \frac{16e^{-4}}{2} = 8e^{-4}
Tam olarak 2 hata bulunma olasılığını bulmak için olasılık kütle fonksiyonu (PDF) uygulanmalıdır.

Anahtar Kavram

Poisson Dağılımında Parametre Ölçekleme ve Varyans Özelliği
Bu soruyu puanla

Konular

Poisson Dağılımı

Bu konudan daha fazla soru