İstatistiksel tahmin edicilerin iyileştirilmesi sürecinde, bir \theta parametresi için T y… — KPSS İstatistik

İstatistiksel tahmin edicilerin iyileştirilmesi sürecinde, bir $\theta$ parametresi için $T$ yansız bir tahmin edici ve $S$ ise $\theta$ için yeterli bir istatistik olsun. Rao-Blackwell teoremi kullanılarak elde edilen $T^* = E[T|S]$ tahmin edicisi için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

$\theta$ için yansız bir tahmin edicidir ve varyansı $T$ tahmin edicisinin varyansından küçük veya eşittir.Cevap
B
$\theta$ için yanlı bir tahmin edicidir ancak varyansı $T$ tahmin edicisinden her zaman daha küçüktür.
C
$T^*$ tahmin edicisinin yansız olabilmesi için $S$ istatistiğinin aynı zamanda tam (complete) olması zorunludur.
D
Varyansı her zaman $T$ tahmin edicisinin varyansından daha büyüktür.
E
$T^*$ istatistiği yeterli istatistiğe bağlı olduğu için $\theta$ parametresi hakkında bilgi içermez.

Cevap

Rao-Blackwell teoremi uyarınca, oluşturulan yeni tahmin edici yansızdır ve varyansı orijinal tahmin edicinin varyansından küçük veya eşittir.

Rao-Blackwell teoremi,

T

yansız bir tahmin edici ve

S

yeterli bir istatistik olduğunda,

T^* = E[T|S]

tahmin edicisinin de

\theta

için yansız olduğunu ve varyansının

Var(T^*) \leq Var(T)

şartını sağladığını ifade eder. Bu, istatistiksel çıkarımda tahmin edicileri iyileştirmek için kullanılan temel bir yöntemdir.

Adım Adım Çözüm

Koşullu beklentinin yansızlığını kontrol etme.

E[T^*] = E[E[T|S]] = E[T] = \theta

Yinelemeli beklentiler yasası (Law of Iterated Expectations) gereği, yansız bir tahmin edicinin koşullu beklentisi de yansızdır.

Varyans bileşenleri formülünü uygulama.

Var(T) = Var(E[T|S]) + E[Var(T|S)]

Varyansın her zaman pozitif veya sıfır olduğu (

E[Var(T|S)] \geq 0

) bilindiğinden,

Var(T) \geq Var(E[T|S])

eşitsizliği elde edilir.

Sonuçları Rao-Blackwell çerçevesinde birleştirme.

Var(T^*) \leq Var(T)

E[T^*] = \theta

Teoremin iki temel sonucu olan yansızlık ve varyans iyileştirmesi doğrulanmış olur.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi ve Varyans İyileştirme

Daha Fazla Pratik

Lehmann-Scheffe teoreminin Rao-Blackwell üzerine hangi ek şartları (tamlık gibi) getirdiğini inceleyiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Konular

Bu konudan daha fazla soru