Examkin

Soru

Zorluk: ZorBernoulli Dağılımı

Bir finansal risk analizi çalışmasında, belirli bir kredi portföyünden rastgele seçilen bir kredinin temerrüde düşme durumu YY gösterge (indikatör) rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Kredinin temerrüde düşmesi durumu Y=1Y=1, düşmemesi durumu ise Y=0Y=0 olarak tanımlanmış olup, temerrüde düşme olasılığı pp (0<p<1)(0 < p < 1) olarak belirlenmiştir.

YY rastgele değişkeninin beklenen değeri E(Y)E(Y), varyansı Var(Y)Var(Y) ve moment çıkaran fonksiyonu MY(t)M_Y(t) olduğuna göre;

E(Y)⋅Var(Y)⋅MY(t)E(Y) \cdot Var(Y) \cdot M_Y(t)

çarpımının teorik ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    p3[(1−p)+pet]p^3 \left[ (1-p) + p e^t \right]
  2. B
    pp[(1−p)+pet]p \sqrt{p} \left[ (1-p) + p e^t \right]
  3. p2(1−p)[(1−p)+pet]p^2(1-p) \left[ (1-p) + p e^t \right]Cevap
  4. D
    p2(1+p)[(1−p)+pet]p^2(1+p) \left[ (1-p) + p e^t \right]
  5. E
    p2(1−p)[p+(1−p)et]p^2(1-p) \left[ p + (1-p) e^t \right]

Cevap

İstenen teorik çarpımın doğru ifadesi p2(1−p)[(1−p)+pet]p^2(1-p) \left[ (1-p) + p e^t \right] şeklindedir.
Bernoulli dağılımına sahip gösterge değişkenlerinde beklenen değer pp, varyans p(1−p)p(1-p) ve moment çıkaran fonksiyon (1−p)+pet(1-p) + p e^t'dir. İstenen E(Y)⋅Var(Y)⋅MY(t)E(Y) \cdot Var(Y) \cdot M_Y(t) çarpımı, bu üç teorik ifadenin ardışık olarak çarpılmasıyla p⋅p(1−p)⋅[(1−p)+pet]=p2(1−p)[(1−p)+pet]p \cdot p(1-p) \cdot [ (1-p) + p e^t ] = p^2(1-p) [ (1-p) + p e^t ] sonucunu doğurur.

Adım Adım Çözüm

1
Bernoulli dağılımının beklenen değerini (E(Y)E(Y)) belirleme
E(Y)=pE(Y) = p
YY değişkeni 1 değerini pp olasılıkla, 0 değerini 1−p1-p olasılıkla aldığı için E(Y)=1(p)+0(1−p)=pE(Y) = 1(p) + 0(1-p) = p olur.
2
Bernoulli dağılımının varyansını (Var(Y)Var(Y)) hesaplama
Var(Y)=p(1−p)Var(Y) = p(1-p)
E(Y2)=12(p)+02(1−p)=pE(Y^2) = 1^2(p) + 0^2(1-p) = p olduğundan, varyans formülü gereği Var(Y)=E(Y2)−[E(Y)]2=p−p2=p(1−p)Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = p - p^2 = p(1-p) elde edilir.
3
Bernoulli dağılımının moment çıkaran fonksiyonunu (MY(t)M_Y(t)) türetme
MY(t)=(1−p)+petM_Y(t) = (1-p) + p e^t
MGF tanımı gereği MY(t)=E(etY)=et(0)P(Y=0)+et(1)P(Y=1)=1⋅(1−p)+et⋅p=(1−p)+petM_Y(t) = E(e^{tY}) = e^{t(0)} P(Y=0) + e^{t(1)} P(Y=1) = 1 \cdot (1-p) + e^t \cdot p = (1-p) + p e^t formülü uygulanır.
4
Bulunan teorik özellikleri birbiriyle çarpma
p2(1−p)[(1−p)+pet]p^2(1-p) \left[ (1-p) + p e^t \right]
Değerler formülde yerine konulduğunda p⋅p(1−p)⋅[(1−p)+pet]=p2(1−p)[(1−p)+pet]p \cdot p(1-p) \cdot [ (1-p) + p e^t ] = p^2(1-p) [ (1-p) + p e^t ] matematiksel sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bernoulli dağılımının temel karakteristikleri (Beklenen değer, Varyans ve Moment Çıkaran Fonksiyon)
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Bernoulli Dağılımı

Bu konudan daha fazla soru