Examkin

Soru

Zorluk: OrtaHata Kareler Ortalaması (MSE)

Bir istatistikçi, [0,θ][0, \theta] aralığında düzgün (uniform) dağılım gösteren bir ana kütleden nn birimlik bağımsız bir rastgele örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) almıştır. Bilinmeyen θ\theta parametresini tahmin etmek amacıyla örneklem içindeki en büyük değer olan Y=max⁡(X1,X2,…,Xn)Y = \max(X_1, X_2, \dots, X_n) istatistiği kullanılmaktadır. Buna göre, YY tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 2θ2(n+1)(n+2)\frac{2\theta^2}{(n+1)(n+2)}Cevap
  2. B
    nθ2(n+1)2(n+2)\frac{n\theta^2}{(n+1)^2(n+2)}
  3. C
    θ2(n+1)2\frac{\theta^2}{(n+1)^2}
  4. D
    θ2(n+1)(n+2)\frac{\theta^2}{(n+1)(n+2)}
  5. E
    nθ2(n+1)(n+2)\frac{n\theta^2}{(n+1)(n+2)}

Cevap

Tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması 2θ2(n+1)(n+2)\frac{2\theta^2}{(n+1)(n+2)} ifadesine eşittir.
Hata Kareler Ortalaması, bir tahmin edicinin hem değişkenliğini (varyans) hem de doğruluğunu (yanlılık) ölçen kapsayıcı bir kriterdir. Örneklem maksimumu için hesaplanan varyans bileşeni ile yanlılık karesi toplandığında, payda eşitleme işlemleri sonucunda en sade haliyle pay kısmında 2θ22\theta^2 ve payda kısmında (n+1)(n+2)(n+1)(n+2) terimlerini içeren ifade elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem maksimumunun (YY) beklenen değerini ve varyansını belirle.
E(Y)=nn+1θE(Y) = \frac{n}{n+1}\theta ve Var(Y)=nθ2(n+1)2(n+2)Var(Y) = \frac{n\theta^2}{(n+1)^2(n+2)}
[0,θ][0, \theta] aralığındaki düzgün dağılımda nn-inci sıra istatistiğinin dağılım özellikleri kullanılmıştır.
2
Tahmin edicinin yanlılık (bias) miktarını hesapla.
Yan(Y)=E(Y)−θ=nn+1θ−θ=−θn+1Yan(Y) = E(Y) - \theta = \frac{n}{n+1}\theta - \theta = -\frac{\theta}{n+1}
Yanlılık, beklenen değer ile parametre arasındaki farktır.
3
Hata Kareler Ortalaması (MSE) formülünü uygula.
MSE(Y)=Var(Y)+[Yan(Y)]2=nθ2(n+1)2(n+2)+θ2(n+1)2MSE(Y) = Var(Y) + [Yan(Y)]^2 = \frac{n\theta^2}{(n+1)^2(n+2)} + \frac{\theta^2}{(n+1)^2}
MSE, varyans ile yanlılık karesinin toplamıdır.
4
Cebirsel ifadeleri payda eşitleyerek sadeleştir.
MSE(Y)=θ2(n+1)2[nn+2+1]=θ2(n+1)2[2n+2n+2]=2(n+1)θ2(n+1)2(n+2)=2θ2(n+1)(n+2)MSE(Y) = \frac{\theta^2}{(n+1)^2} [\frac{n}{n+2} + 1] = \frac{\theta^2}{(n+1)^2} [\frac{2n+2}{n+2}] = \frac{2(n+1)\theta^2}{(n+1)^2(n+2)} = \frac{2\theta^2}{(n+1)(n+2)}
Ortak paranteze alma ve sadeleştirme adımları uygulanmıştır.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE) Bileşenleri: Varyans ve Yanlılık Karesi
Bu soruyu puanla

Konular

Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Bu konudan daha fazla soru