Bir tarım uzmanı, yeni bir gübre türünün tohumların çimlenme olasılığı (p) üzerindeki etki… — KPSS İstatistik

Bir tarım uzmanı, yeni bir gübre türünün tohumların çimlenme olasılığı ( $p$ ) üzerindeki etkisini incelemektedir. Bu amaçla rastgele seçilen $5$ adet tohum ekilmiş ve her birinin çimlenme durumu ( $X_i=1$ : çimlenme gerçekleşti, $X_i=0$ : çimlenme gerçekleşmedi) kaydedilmiştir. Gözlemlerin $p$ parametreli Bernoulli dağılımına sahip bağımsız ve özdeş rastgele değişkenler olduğu varsayılmaktadır. Parametre için $T = X_1$ yansız tahmin edicisi tanımlanmıştır.

Rao-Blackwell teoremi uygulanarak $S = \sum_{i=1}^5 X_i$ yeterli istatistiği yardımıyla elde edilen yeni tahmin edicinin ( $T^* = E[T|S]$ ) varyansının, başlangıçtaki $T$ tahmin edicisinin varyansına oranı kaçtır?

$1/5$ Cevap
B
$1/25$
C
$1$
D
$4/5$
E
$5$

Cevap

Rao-Blackwell teoremi sonucunda elde edilen yeni tahmin edicinin varyansının orijinal tahmin ediciye oranı

1/5

olur.

Doğru cevap

1/5

oranıdır.

X_1, \dots, X_5

i.i.d. Bernoulli(

p

) olduğunda,

p

için

T=X_1

yansızdır ve

S=\sum X_i

yeterli istatistiktir. Rao-Blackwell teoremi gereği

T^* = E[X_1|S] = S/5 = \bar{X}

elde edilir.

\bar{X}

tahmin edicisinin varyansı

p(1-p)/5

iken orijinal tahmin edici

X_1

'in varyansı

p(1-p)

'dir. Bu iki değerin oranı

1/5

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

Başlangıç tahmin edicisinin (

T

) varyansını belirle.

Var(T) = Var(X_1) = p(1-p)

X_1

bir Bernoulli rastgele değişkeni olduğu için varyansı

p(1-p)

formülü ile hesaplanır.

Rao-Blackwell teoremini uygulayarak yeni tahmin ediciyi (

T^*

) bul.

T^* = E[X_1 | \sum_{i=1}^5 X_i] = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^5 X_i = \bar{X}

Bernoulli dağılımında, bir gözlemin toplam (yeterli istatistik) üzerindeki koşullu beklenen değeri örneklem ortalamasına eşittir.

Yeni tahmin edicinin (

T^*

) varyansını hesapla.

Var(T^*) = Var(\bar{X}) = \frac{p(1-p)}{5}

Bağımsız ve özdeş dağılan rastgele değişkenlerin ortalamasının varyansı, kitle varyansının örneklem çapına (

n=5

) bölünmesiyle bulunur.

Varyanslar arası oranı hesapla.

\frac{Var(T^*)}{Var(T)} = \frac{p(1-p)/5}{p(1-p)} = \frac{1}{5}

Yeni tahmin edicinin varyansı ile orijinal varyans oranlanarak iyileşme miktarı bulunur.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi ve Varyans Azaltma

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru