Examkin

Soru

Zorluk: KolayDeğişken Dönüşümleri ve Jakobiyen

XX ve YY rastgele değişkenleri (0,1)(0,1) aralığında bağımsız ve düzgün (uniform) dağılıma sahiptir. Yeni rastgele değişkenler U=X/2U = X/2 ve V=4YV = 4Y olarak tanımlandığına göre, bu değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu g(u,v)g(u,v) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. g(u,v)=12,0<u<12,0<v<4g(u,v) = \frac{1}{2}, \quad 0 < u < \frac{1}{2}, \quad 0 < v < 4Cevap
  2. B
    g(u,v)=1,0<u<12,0<v<4g(u,v) = 1, \quad 0 < u < \frac{1}{2}, \quad 0 < v < 4
  3. C
    g(u,v)=2,0<u<12,0<v<4g(u,v) = 2, \quad 0 < u < \frac{1}{2}, \quad 0 < v < 4
  4. D
    g(u,v)=12,0<u<1,0<v<1g(u,v) = \frac{1}{2}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1
  5. E
    g(u,v)=12,0<u<2,0<v<14g(u,v) = \frac{1}{2}, \quad 0 < u < 2, \quad 0 < v < \frac{1}{4}

Cevap

g(u,v)=12g(u,v) = \frac{1}{2} fonksiyonu ile 0<u<1/20 < u < 1/2 ve 0<v<40 < v < 4 sınırlarını belirten seçenek doğrudur.
Dönüşümün tersi alındığında x=2ux=2u ve y=v/4y=v/4 bulunur. Jakobiyen determinantı 2×(1/4)=1/22 \times (1/4) = 1/2 olarak hesaplanır. Sınırlar ise 0<x<10 < x < 1 ve 0<y<10 < y < 1 şartlarından 0<u<1/20 < u < 1/2 ve 0<v<40 < v < 4 olarak güncellenir. Bu durumda doğru fonksiyon g(u,v)=1/2g(u,v) = 1/2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Ters dönüşümleri belirleme
x=2ux = 2u ve y=v/4y = v/4
Orijinal değişkenleri (x,yx, y) yeni değişkenler (u,vu, v) cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Jakobiyen determinantını hesaplama
J=∣∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v∣=∣2001/4∣=2×14=12J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1/4 \end{vmatrix} = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
Değişken dönüşümünde olasılık yoğunluğunu ölçeklendirmek için Jakobiyen çarpanı (∣J∣|J|) gereklidir.
3
Yeni tanım aralıklarını (sınırları) belirleme
0<2u<1⇒0<u<1/20 < 2u < 1 \Rightarrow 0 < u < 1/2 ve 0<v/4<1⇒0<v<40 < v/4 < 1 \Rightarrow 0 < v < 4
Orijinal değişkenlerin sınırları olan 0<x<10 < x < 1 ve 0<y<10 < y < 1 değerlerini uu ve vv cinsinden yazmak gerekir.
4
Yeni ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu oluşturma
g(u,v)=f(x,y)⋅∣J∣=1⋅12=12g(u,v) = f(x,y) \cdot |J| = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
xx ve yy bağımsız düzgün dağıldığı için f(x,y)=1f(x,y) = 1 dir; bu değer Jakobiyen ile çarpılır.

Anahtar Kavram

İki değişkenli sürekli rastgele değişkenlerde lineer dönüşüm ve Jakobiyen yöntemi.
Bu soruyu puanla

Konular

Değişken Dönüşümleri ve Jakobiyen