Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Yansızlık ve Hata Kareler Ortalaması (MSE)
X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n, olasılık yoğunluk fonksiyonu
f(x;θ)={4x3θ4,0<x<θ0,dig˘er durumlarf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{4x^3}{\theta^4}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}
olan bir kitleden alınan rastgele örneklem olsun.
Buna göre, bilinmeyen θ\theta (θ>0\theta > 0) parametresini tahmin etmek için kullanılan Xˉ\bar{X} (örneklem ortalaması) tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    48n+275nθ2\frac{48n+2}{75n}\theta^2
  2. B
    124nθ2\frac{1}{24n}\theta^2
  3. 3n+275nθ2\frac{3n+2}{75n}\theta^2Cevap
  4. D
    275nθ2\frac{2}{75n}\theta^2
  5. E
    115nθ2\frac{1}{15n}\theta^2

Cevap

Xˉ\bar{X} tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalaması 3n+275nθ2\frac{3n+2}{75n}\theta^2 olarak bulunur.
Örneklem ortalaması Xˉ\bar{X}'in beklenen değeri E[Xˉ]=45θE[\bar{X}] = \frac{4}{5}\theta ve varyansı Var(Xˉ)=275nθ2Var(\bar{X}) = \frac{2}{75n}\theta^2'dir. θ\theta'yı tahmin ederken oluşan yan miktarı Bias=E[Xˉ]−θ=−15θBias = E[\bar{X}] - \theta = -\frac{1}{5}\theta olur. Hata Kareler Ortalaması formülü olan MSE=Var+Bias2MSE = Var + Bias^2 uygulandığında 275nθ2+(−15θ)2=275nθ2+375θ2\frac{2}{75n}\theta^2 + \left(-\frac{1}{5}\theta\right)^2 = \frac{2}{75n}\theta^2 + \frac{3}{75}\theta^2 işlemi sonucunda doğru ifade 3n+275nθ2\frac{3n+2}{75n}\theta^2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kitle dağılımının beklenen değerini (E[X]E[X]) ve varyansını (Var(X)Var(X)) hesapla.
E[X]=∫0θx4x3θ4dx=45θE[X] = \int_0^\theta x \frac{4x^3}{\theta^4} dx = \frac{4}{5}\theta ve E[X2]=∫0θx24x3θ4dx=23θ2E[X^2] = \int_0^\theta x^2 \frac{4x^3}{\theta^4} dx = \frac{2}{3}\theta^2. Buradan Var(X)=23θ2−(45θ)2=275θ2Var(X) = \frac{2}{3}\theta^2 - (\frac{4}{5}\theta)^2 = \frac{2}{75}\theta^2 elde edilir.
Örneklem ortalamasının özelliklerini bulabilmek için öncelikle kitlenin momentlerine ihtiyaç vardır.
2
Xˉ\bar{X} tahmin edicisinin beklenen değerini ve varyansını belirle.
E[Xˉ]=E[X]=45θE[\bar{X}] = E[X] = \frac{4}{5}\theta ve Var(Xˉ)=Var(X)n=275nθ2Var(\bar{X}) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{2}{75n}\theta^2.
MSE hesabında kullanılacak olan varyans ve yan miktarını bulmak için Xˉ\bar{X}'in istatistiksel özellikleri gereklidir.
3
Xˉ\bar{X}'in θ\theta için yan miktarını (Bias) hesapla.
Bias(Xˉ)=E[Xˉ]−θ=45θ−θ=−15θBias(\bar{X}) = E[\bar{X}] - \theta = \frac{4}{5}\theta - \theta = -\frac{1}{5}\theta. Buradan Bias2=125θ2=375θ2Bias^2 = \frac{1}{25}\theta^2 = \frac{3}{75}\theta^2 bulunur.
Tahmin edici yanlı olduğundan MSE hesabında yan miktarının karesi kullanılmalıdır.
4
MSE = Varyans + Bias2Bias^2 formülünü uygula.
MSE(Xˉ)=275nθ2+375θ2=2+3n75nθ2MSE(\bar{X}) = \frac{2}{75n}\theta^2 + \frac{3}{75}\theta^2 = \frac{2 + 3n}{75n}\theta^2.
Hata Kareler Ortalaması, varyans ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Tahmin edicilerde yan miktarı hesaplama ve Hata Kareler Ortalaması (MSE) ile varyans arasındaki ilişki (MSE(θ^)=Var(θ^)+[Bias(θ^)]2MSE(\hat{\theta}) = Var(\hat{\theta}) + [Bias(\hat{\theta})]^2).
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yansızlık ve Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Bu konudan daha fazla soru