Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTamlık (Completeness) ve Üstel Aileler

Bir istatistik araştırmasında, XX rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunun iki parametreli bir üstel aileye ait olduğu ve

f(x;θ)=h(x)exp⁡{η1(θ)t1(x)+η2(θ)t2(x)−A(θ)}f(x;\theta) = h(x) \exp\{ \eta_1(\theta) t_1(x) + \eta_2(\theta) t_2(x) - A(\theta) \}

biçiminde ifade edilebildiği bilinmektedir. Parametre uzayı Θ\Theta üzerinde η2(θ)=[η1(θ)]2\eta_2(\theta) = [\eta_1(\theta)]^2 eşitliğini sağlayan deterministik bir kısıt bulunduğu (eğrisel üstel aile) saptanmıştır. Bu dağılımdan alınan nn çaplı bağımsız ve aynı dağılımlı bir rastgele örneklem için ortak yeterli istatistik (T1,T2)=(∑i=1nt1(Xi),∑i=1nt2(Xi))(T_1, T_2) = \left( \sum_{i=1}^n t_1(X_i), \sum_{i=1}^n t_2(X_i) \right) olarak elde edilmiştir.

Bu teorik modele göre, θ\theta parametresinin tahmini ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Üstel aile formunda yazılabilen tüm dağılımlarda yeterli istatistikler doğal olarak tam olduğundan, (T1,T2)(T_1, T_2) istatistiği UMVUE bulmada Lehmann-Scheffe teoreminin şartlarını daima eksiksiz sağlar.
  2. Doğal parametre uzayı iki boyutlu uzayda açık bir küme içermediğinden (T1,T2)(T_1, T_2) tam (complete) bir istatistik değildir ve Lehmann-Scheffe teoremi ile eşsiz (unique) bir UMVUE garanti edilemez.Cevap
  3. C
    Parametreler arasındaki kısıtlayıcı ilişki, fonksiyonun Neyman çarpanlara ayırma teoremine uygun olarak ayrıştırılmasını bozduğu için (T1,T2)(T_1, T_2) istatistiği yeterlilik (sufficiency) özelliğini kaybeder.
  4. D
    Kısıtlı parametre uzaylarında (T1,T2)(T_1, T_2)'ye bağlı olarak bulunacak herhangi bir yansız tahmin edici, varyans değerinden bağımsız olarak büyük örneklemlerde her zaman tutarlı (consistent) olacaktır.
  5. E
    Eğrisel üstel ailelerde tahmin edici yanlı hesaplansa bile Hata Kareler Ortalaması (MSE) doğrudan varyansa eşit alınacağından, (T1,T2)(T_1, T_2) istatistiği tamlık (completeness) özelliğini korur.

Cevap

Doğru cevap, doğal parametre uzayının iki boyutlu uzayda açık bir küme içermemesi nedeniyle yeterli istatistiğin tam (complete) olmadığını ve bu yüzden Lehmann-Scheffe teoreminin doğrudan uygulanamayacağını belirten seçenektir.
Çok parametreli üstel ailelere ait bir dağılımda ortak yeterli istatistiğin tam (complete) olabilmesi için, doğal parametre vektörünü içeren uzayın Rk\mathbb{R}^k boyutunda açık bir küme (open set) içermesi teorik bir zorunluluktur. Soruda belirtilen η2(θ)=[η1(θ)]2\eta_2(\theta) = [\eta_1(\theta)]^2 kısıtı, doğal parametre uzayını iki boyutlu düzlemde bir parabol eğrisine indirger. İki boyutlu düzlemdeki bir eğri hiçbir zaman iki boyutlu açık bir dikdörtgen veya açık bir küme içermez (iç noktası yoktur). Açık küme şartı sağlanmadığı için (T1,T2)(T_1, T_2) ortak istatistiği tamlık özelliğini kaybeder. İstatistik tam olmadığından dolayı, Lehmann-Scheffe teoreminin şartları ihlal edilir ve yansız tahmin edicilerin eşsiz (unique) UMVUE olması bu teorem ile garanti altına alınamaz.

Adım Adım Çözüm

1
Yoğunluk fonksiyonunun üstel aile yapısını inceleme
Fonksiyonun iki boyutlu bir üstel aile formunda olduğu ve (T1,T2)(T_1, T_2) ortak istatistiğinin yeterli (sufficient) olduğu görülür.
Tamlık ve yeterlilik özelliklerini test edebilmek için dağılımın temel özelliklerinin belirlenmesi gerekir.
2
Doğal parametre uzayının topolojik yapısını analiz etme
Parametreler arasındaki η2(θ)=[η1(θ)]2\eta_2(\theta) = [\eta_1(\theta)]^2 kısıtı nedeniyle, doğal parametre uzayının R2\mathbb{R}^2'de iki boyutlu bir alana yayılmadığı, tek boyutlu bir eğri (parabol) üzerinde sınırlandığı tespit edilir.
Üstel ailelerde tamlık özelliğinin geçerli olup olmadığını kontrol etmenin temel kuralı doğal parametre uzayının boyutunu incelemektir.
3
Tamlık teoremi ile açık küme (open set) kuralını ilişkilendirme
Ortak yeterli istatistiğin tam (complete) olabilmesi için, k boyutlu doğal parametre uzayının Rk\mathbb{R}^k'da açık bir dikdörtgen (veya açık bir küme) içermesi gerekir. Eğriler R2\mathbb{R}^2'de hiçbir açık küme içermez.
Eğrisel üstel ailelerin (curved exponential families) klasik özelliklerini teyit etmek.
4
Lehmann-Scheffe teoremi üzerinden UMVUE sonucuna varma
İstatistik tam olmadığı için, beklenen değeri sıfır olan ancak kendisi sıfır olmayan fonksiyonlar mevcuttur. Bu nedenle Lehmann-Scheffe teoremi kullanılarak eşsiz (unique) bir yansız en küçük varyanslı tahmin edici (UMVUE) garanti edilemez.
Tamlık kısıtının uygulamadaki pratik sonucunu değerlendirmek.

Anahtar Kavram

Eğrisel Üstel Ailelerde Tamlık ve Lehmann-Scheffe Teoremi
Bu soruyu puanla

Konular

Tamlık (Completeness) ve Üstel Aileler

Bu konudan daha fazla soru