Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Yansızlık ve Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Bir enerji dağıtım şirketi, belirli bir bölgedeki günlük elektrik tüketimindeki dalgalanmaları XX (megawatt cinsinden) rassal değişkeni ile izlemektedir. θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametre olmak üzere, XX değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir:

f(x;θ)={5x4θ5,0<x<θ0,dig˘er durumlarf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{5x^4}{\theta^5}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Şirket, θ\theta değerini tahmin etmek amacıyla bu kitleden nn birimlik bir rastgele örneklem seçmiş ve Xˉ\bar{X} örneklem ortalamasını bir tahmin edici olarak önermiştir. Buna göre, Xˉ\bar{X} tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    5θ2252n\frac{5\theta^2}{252n}
  2. (7n+5)θ2252n\frac{(7n+5)\theta^2}{252n}Cevap
  3. C
    (n+5)θ2252n\frac{(n+5)\theta^2}{252n}
  4. D
    (7n+1)θ2252n\frac{(7n+1)\theta^2}{252n}
  5. E
    (5n+7)θ2252n\frac{(5n+7)\theta^2}{252n}

Cevap

Tahmin edicinin hata kareler ortalaması (7n+5)θ2252n\frac{(7n+5)\theta^2}{252n} olarak hesaplanır.
Tahmin edicinin beklenen değeri 5/6θ5/6\theta olup, θ\theta parametresi için yanlı bir tahmin edicidir. Hata kareler ortalaması, tahmin edicinin varyansı olan 5θ2/252n5\theta^2/252n ile yan miktarının karesi olan θ2/36\theta^2/36 değerlerinin toplanmasıyla elde edilen payda eşitlenmiş halidir.

Adım Adım Çözüm

1
Kitlenin beklenen değerini hesaplayın.
E[X]=∫0θx⋅5x4θ5dx=5θ5[x66]0θ=56θE[X] = \int_{0}^{\theta} x \cdot \frac{5x^4}{\theta^5} dx = \frac{5}{\theta^5} [\frac{x^6}{6}]_0^{\theta} = \frac{5}{6}\theta
Tahmin edicinin yanlı olup olmadığını belirlemek ve varyans hesabında kullanmak için kitlenin ortalaması gereklidir.
2
Kitlenin varyansını hesaplayın.
E[X2]=∫0θx2⋅5x4θ5dx=57θ2E[X^2] = \int_{0}^{\theta} x^2 \cdot \frac{5x^4}{\theta^5} dx = \frac{5}{7}\theta^2. Buradan Var(X)=57θ2−(56θ)2=180−175252θ2=5252θ2Var(X) = \frac{5}{7}\theta^2 - (\frac{5}{6}\theta)^2 = \frac{180-175}{252}\theta^2 = \frac{5}{252}\theta^2.
Örneklem ortalamasının varyansını bulmak için kitlenin varyansına ihtiyaç vardır.
3
Tahmin edicinin beklenen değerini ve varyansını bulun.
E[Xˉ]=E[X]=56θE[\bar{X}] = E[X] = \frac{5}{6}\theta ve Var(Xˉ)=Var(X)n=5θ2252nVar(\bar{X}) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{5\theta^2}{252n}.
MSE formülündeki bileşenleri elde etmek için istatistiğin örnekleme dağılımı özellikleri kullanılır.
4
Yan (bias) miktarını hesaplayın.
Yan(Xˉ)=E[Xˉ]−θ=56θ−θ=−16θYan(\bar{X}) = E[\bar{X}] - \theta = \frac{5}{6}\theta - \theta = -\frac{1}{6}\theta.
Tahmin edici parametreye eşit olmadığından MSE hesabına yan miktarının karesi eklenmelidir.
5
MSE formülünü uygulayın.
MSE(Xˉ)=Var(Xˉ)+[Yan(Xˉ)]2=5θ2252n+(−16θ)2=5θ2252n+θ236=5θ2+7nθ2252nMSE(\bar{X}) = Var(\bar{X}) + [Yan(\bar{X})]^2 = \frac{5\theta^2}{252n} + (-\frac{1}{6}\theta)^2 = \frac{5\theta^2}{252n} + \frac{\theta^2}{36} = \frac{5\theta^2 + 7n\theta^2}{252n}.
Hata kareler ortalaması, varyans ve yan miktarının karesinin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE) Hesabı

Daha Fazla Pratik

Tahmin edicinin katsayısı değiştirilerek yansız hale getirilmesi durumunda varyansın nasıl değişeceğini inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yansızlık ve Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Bu konudan daha fazla soru