Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorUlaştırma Probleminin Modellenmesi

Bir otomotiv yedek parça üreticisinin üç farklı fabrikası (F1,F2,F3F_1, F_2, F_3) ve iki ana montaj tesisi (M1,M2M_1, M_2) bulunmaktadır. Fabrikaların günlük üretim kapasiteleri sırasıyla 400, 350 ve 250 birimdir. Montaj tesislerinin günlük parça talepleri ise sırasıyla 600 ve 550 birimdir.

F2F_2 fabrikasında üretilen parçalar teknik uyumsuzluk nedeniyle M1M_1 tesisinde kullanılamamaktadır (bu rotada sevkiyat yapılamaz). Talebin karşılanamaması durumunda, eksik kalan her birim parça için M1M_1 tesisinde 100 TL, M2M_2 tesisinde ise 150 TL üretim kaybı maliyeti (ceza) oluşmaktadır.

Bu problem, toplam maliyeti en küçükleyecek şekilde dengeli bir ulaştırma modeli olarak formüle edilmek istenmektedir. Karar değişkeni xijx_{ij}, ii. fabrikadan (i=1,2,3i=1, 2, 3) jj. tesise (j=1,2j=1, 2) gönderilen miktarı ve xyjx_{yj}, modelin dengelenmesi için eklenen yapay kaynaktan jj. tesise gönderilen miktarı göstermektedir.

Buna göre, kurulan doğrusal programlama modelinde yapay değişkenlerin amaç fonksiyonundaki katsayıları ve montaj tesislerinin talep kısıtları aşağıdakilerin hangisinde doğru ve eksiksiz verilmiştir?

  1. A
    Amaç Fonksiyonu Ek Terimleri: 100x1y+150x2y100x_{1y} + 150x_{2y}
    Talep Kısıtları:
    x11+x31=600x_{11} + x_{31} = 600
    x12+x22+x32=550x_{12} + x_{22} + x_{32} = 550
  2. B
    Amaç Fonksiyonu Ek Terimleri: 0xy1+0xy20x_{y1} + 0x_{y2}
    Talep Kısıtları:
    x11+x21+x31+xy1=600x_{11} + x_{21} + x_{31} + x_{y1} = 600
    x12+x22+x32+xy2=550x_{12} + x_{22} + x_{32} + x_{y2} = 550
  3. C
    Amaç Fonksiyonu Ek Terimleri: 100xy1+150xy2100x_{y1} + 150x_{y2}
    Talep Kısıtları:
    x11+x31+xy1≥600x_{11} + x_{31} + x_{y1} \geq 600
    x12+x22+x32+xy2≥550x_{12} + x_{22} + x_{32} + x_{y2} \geq 550
  4. Amaç Fonksiyonu Ek Terimleri: 100xy1+150xy2100x_{y1} + 150x_{y2}
    Talep Kısıtları:
    x11+x31+xy1=600x_{11} + x_{31} + x_{y1} = 600
    x12+x22+x32+xy2=550x_{12} + x_{22} + x_{32} + x_{y2} = 550    Cevap
  5. E
    Amaç Fonksiyonu Ek Terimleri: 150xy1+100xy2150x_{y1} + 100x_{y2}
    Talep Kısıtları:
    x11+x31+xy1=600x_{11} + x_{31} + x_{y1} = 600
    x12+x22+x32+xy2=550x_{12} + x_{22} + x_{32} + x_{y2} = 550

Cevap

Modelin doğru formüle edildiği seçenekte amaç fonksiyonuna 100xy1+150xy2100x_{y1} + 150x_{y2} eklenmiş, yasaklı x21x_{21} rotası çıkarılmış ve kısıtlar eşitlik (==) olarak ifade edilmiştir.
Problemde toplam arz (1000), toplam talepten (1150) küçüktür. Modeli dengelemek için 150 birim kapasiteli 'Yapay Kaynak' eklenmelidir. Yapay kaynaktan montaj tesislerine yapılan sevkiyatlar gerçekte var olmayan sevkiyatlardır ve doğrudan karşılanamayan (eksik kalan) talebi simgeler. Bu nedenle, eksik kalan her birim için verilen üretim kaybı cezaları (sırasıyla 100 TL ve 150 TL), yapay kaynağın taşıma maliyetleri olarak amaç fonksiyonuna doğrudan eklenir (100xy1+150xy2100x_{y1} + 150x_{y2}). Dengeli ulaştırma modellerinde kısıtlar daima 'eşitlik' formunda yazılır. Ayrıca, F2F_2'den M1M_1'e parça gönderilemediği için x21x_{21} değişkeni talep kısıtından tamamen çıkarılır. Tüm bu şartları eksiksiz sağlayan seçenek doğru matematiksel modellemeyi yansıtır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam arz ve toplam talebi hesaplayarak problemin denge durumunu kontrol etme.
Toplam Arz = 400 + 350 + 250 = 1000. Toplam Talep = 600 + 550 = 1150. Talep > Arz olduğu belirlenir.
Ulaştırma modelinin standart yapıda (dengeli) çözülebilmesi için yapay arz veya yapay talep noktası eklenip eklenmeyeceğini belirlemek.
2
Dengeyi sağlamak için gereken yapay merkez türünü ve kapasitesini belirleme.
Talep daha fazla olduğu için aradaki 150 birimlik farkı kapatacak bir 'Yapay Kaynak (Y)' eklenmelidir. Bu kaynaktan yapılacak sevkiyatlar karar değişkeni olarak xyjx_{yj} ile gösterilir.
Eksik olan miktar arz tarafında olduğu için sisteme sanal bir üretim merkezi eklenir.
3
Yapay merkezin gönderim maliyetlerini belirleme ve amaç fonksiyonuna ekleme.
Yapay kaynaktan M1M_1'e gönderim maliyeti 100 TL, M2M_2'ye gönderim maliyeti 150 TL olarak belirlenir. Amaç fonksiyonuna 100xy1+150xy2100x_{y1} + 150x_{y2} eklenir.
Sanal (yapay) kaynaktan gelen parçalar gerçekte üretilmeyen parçalardır ve eksik talebi ifade eder. Soruda belirtilen eksiklik cezaları, yapay kaynağın taşıma maliyeti olarak modele girilir.
4
Yasak rotayı dikkate alarak talep kısıtlarını oluşturma.
F2F_2'den M1M_1'e gönderim yapılamadığı için x21x_{21} rotası kısıtlara dâhil edilmez. Dengeli modellerde eşitlik kullanıldığı için M1M_1 Kısıtı: x11+x31+xy1=600x_{11} + x_{31} + x_{y1} = 600 ve M2M_2 Kısıtı: x12+x22+x32+xy2=550x_{12} + x_{22} + x_{32} + x_{y2} = 550 olarak yazılır.
Dengeli modellerde tüm talep tam olarak karşılanmış varsayılır (eşitlik) ve yasaklı rotalar (teknik uyumsuzluk) karar değişkeni havuzundan tamamen çıkarılır.

Anahtar Kavram

Dengesiz Ulaştırma Modelleri ve Ceza Maliyetleri

Alternatif Yöntem

Problemin tablosal gösterimi üzerinden düşünmek kısıtları yazmayı kolaylaştırır. Aşağıdaki dengelenmiş matriste her sütunun toplamı ilgili talep kısıtını, her satırın toplamı ise arz kısıtını verir:

MerkezlerM1M_1 (Talep: 600)M2M_2 (Talep: 550)Arz Kapasitesi
**F1F_1**x11x_{11}x12x_{12}400
**F2F_2**Yasak Rotax22x_{22}350
**F3F_3**x31x_{31}x32x_{32}250
Y (Yapay)xy1x_{y1} (Ceza: 100)xy2x_{y2} (Ceza: 150)150
Sütun toplamlarına bakıldığında M1M_1 kısıtının x11+x31+xy1=600x_{11} + x_{31} + x_{y1} = 600 olduğu açıkça görülmektedir.
Bu soruyu puanla

Konular

Ulaştırma Probleminin Modellenmesi

Bu konudan daha fazla soru