Bir büyükşehir belediyesinin ulaştırma birimi, belirli bir kavşakta meydana gelen haftalık… — KPSS İstatistik

Bir büyükşehir belediyesinin ulaştırma birimi, belirli bir kavşakta meydana gelen haftalık trafik kazası sayısının $\lambda$ parametreli Poisson dağılımına uyduğunu modellemiştir. Bu kavşakta rastgele seçilen $n$ ( $n \ge 2$ ) farklı hafta için kaza sayıları $X_1, X_2, \dots, X_n$ olarak kaydedilmiştir.

Bir araştırmacı,

\lambda

parametresini tahmin etmek için yansız bir tahmin edici olarak

T = \frac{3X_1 + 2X_2}{5}

istatistiğini önermiştir.

Ancak, $\lambda$ için yeterli istatistik olan $S = \sum_{i=1}^n X_i$ bilindiğinde, Rao-Blackwell teoremi kullanılarak $T$ tahmin edicisi iyileştirilerek $T^*$ tahmin edicisi ( $T^* = E[T|S]$ ) elde ediliyor.

Buna göre, ilk önerilen $T$ tahmin edicisinin varyansı ile iyileştirilmiş $T^*$ tahmin edicisinin varyansı arasındaki fark ( $Var(T) - Var(T^*)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{(13n - 25)\lambda}{25n}$ Cevap
B
$\frac{13\lambda}{25}$
C
$\frac{\lambda}{n}$
D
$\frac{(n - 1)\lambda}{n}$
E
$\frac{(13n - 5)\lambda}{5n}$

Cevap

İlk önerilen tahmin edicinin varyansı ile iyileştirilmiş tahmin edicinin varyansı arasındaki fark

\frac{(13n - 25)\lambda}{25n}

değerine eşittir.

Poisson dağılımlı bir örneklemde

X_i

değişkenleri bağımsızdır ve varyansları

\lambda

'dır. Araştırmacının önerdiği

T

tahmin edicisinin varyansı doğrusal kombinasyon kurallarıyla

Var(T) = \frac{9\lambda + 4\lambda}{25} = \frac{13\lambda}{25}

olarak bulunur. Yeterli istatistik

S = \sum X_i

üzerine koşullandırma yapıldığında Rao-Blackwell teoremine göre

T^* = E[T|S] = \bar{X}

elde edilir ve bunun varyansı

\frac{\lambda}{n}

'dir. Aralarındaki fark

\frac{13\lambda}{25} - \frac{\lambda}{n}

işleminin payda eşitlenmesiyle

\frac{(13n - 25)\lambda}{25n}

olarak doğru şekilde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

İlk tahmin edicinin (

T

) varyansını hesapla.

Var(T) = Var\left(\frac{3X_1 + 2X_2}{5}\right) = \frac{3^2 Var(X_1) + 2^2 Var(X_2)}{5^2} = \frac{9\lambda + 4\lambda}{25} = \frac{13\lambda}{25}

Bağımsız değişkenlerin doğrusal kombinasyonunun varyansı alınırken katsayıların kareleri kullanılarak dağılım özelliği uygulanır.

Rao-Blackwell teoremini uygulayarak koşullu beklenen değeri kurgula.

T^* = E[T|S] = E\left[\frac{3X_1 + 2X_2}{5} \Big| S\right] = \frac{3}{5}E[X_1|S] + \frac{2}{5}E[X_2|S]

T

'nin

S

yeterli istatistiğine göre koşullu beklenen değeri, koşulsuz varyansı daha düşük (ya da eşit) olan iyileştirilmiş tahmin ediciyi verir.

Koşullu beklenen değerleri hesapla ve

T^*

'ı sadeleştir.

Poisson dağılımında

E[X_i|S] = \frac{S}{n}

olduğundan,

T^* = \frac{3}{5}\left(\frac{S}{n}\right) + \frac{2}{5}\left(\frac{S}{n}\right) = \frac{5}{5}\left(\frac{S}{n}\right) = \bar{X}

bulunur.

Her bir gözlemin toplam

S

'ye göre koşullu beklenen değeri, toplamın örneklem hacmine bölümüdür.

İyileştirilmiş tahmin edicinin varyansını belirle.

Var(T^*) = Var(\bar{X}) = \frac{\lambda}{n}

Rao-Blackwell teoremi sonucunda ulaşılan tahmin edici örneklem ortalamasıdır ve varyansı bilinen temel bir formüldür.

İki varyans arasındaki farkı bul.

Var(T) - Var(T^*) = \frac{13\lambda}{25} - \frac{\lambda}{n} = \frac{13n\lambda - 25\lambda}{25n} = \frac{(13n - 25)\lambda}{25n}

Soruda istenen, iyileştirme sonucunda varyansta meydana gelen düşüş miktarıdır.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi ve Varyans İyileştirmesi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru