Examkin

Soru

Zorluk: KolaySürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

Bir kamu hizmet merkezindeki işlem bankosunun çalışma durumu, S={0,1}S = \{0, 1\} durum uzayına sahip sürekli zamanlı bir Markov süreci olarak modellenmiştir. Bu sürece ait sonsuz küçük üreteç matrisi (infinitesimal generator matrix) QQ aşağıda verilmiştir:

Q=(−223−3)Q = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}

Buna göre, bu sürecin kararlı durumunda (stationary distribution) bankonun boş (durum 0) olma olasılığı kaçtır?

  1. A
    0,20
  2. B
    0,40
  3. C
    0,50
  4. 0,60Cevap
  5. E
    0,75

Cevap

Bankonun boş olma olasılığı 0,60 olarak hesaplanır.
Verilen üreteç matrisine göre denge denklemi −2P0+3P1=0-2P_0 + 3P_1 = 0 şeklindedir. Bu denklemden P1=23P0P_1 = \frac{2}{3}P_0 ilişkisi bulunur. Toplam olasılık kuralı olan P0+P1=1P_0 + P_1 = 1 denkleminde bu ilişki yerine yazıldığında P0+23P0=1P_0 + \frac{2}{3}P_0 = 1 elde edilir. Buradan 53P0=1\frac{5}{3}P_0 = 1 ve sonuç olarak P0=0,6P_0 = 0,6 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kararlı durum denklemlerini (P⋅Q=0P \cdot Q = 0) ve normalizasyon şartını (P0+P1=1P_0 + P_1 = 1) belirlemek.
−2P0+3P1=0-2P_0 + 3P_1 = 0 ve P0+P1=1P_0 + P_1 = 1 denklemleri elde edilir.
Sürekli zamanlı Markov süreçlerinde kararlı durum olasılıkları, üreteç matrisi ile olasılık vektörünün çarpımının sıfıra eşitlenmesiyle bulunur.
2
Denge denkleminden bir değişkeni diğeri cinsinden yazmak.
3P1=2P0⇒P1=23P03P_1 = 2P_0 \Rightarrow P_1 = \frac{2}{3}P_0.
İki bilinmeyenli sistemi çözebilmek için değişkenler arası ilişki kurulur.
3
Değişkeni normalizasyon denkleminde yerine koyarak çözmek.
P0+23P0=1⇒53P0=1⇒P0=35=0,6P_0 + \frac{2}{3}P_0 = 1 \Rightarrow \frac{5}{3}P_0 = 1 \Rightarrow P_0 = \frac{3}{5} = 0,6.
Toplam olasılığın 1 olması gerektiği kuralı ile kesin sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sürekli zamanlı Markov süreçlerinde kararlı durum olasılıkları, denge denklemleri (P⋅Q=0P \cdot Q = 0) ve toplam olasılık kuralı kullanılarak hesaplanır.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Sürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

Bu konudan daha fazla soru